截面曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率${\displaystyle K(\sigma _{p})}$ 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 ${\displaystyle \sigma _{p}}$ 。它就定义为该截面，考慮在 p 点以平面 ${\displaystyle \sigma _{p}}$ 作为切平面的曲面 ${\textstyle S_{p}}$，這曲面是收集流形中某包含 ${\displaystyle p}$ 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 ${\displaystyle p}$ 點的切向量屬於截面 ${\displaystyle \sigma _{p}}$ （換句話說就是 ${\textstyle S_{p}=\exp _{p}U}$ 其中 ${\textstyle U\subseteq \sigma _{p}}$ 是 ${\textstyle \sigma _{p}}$ 里包含原點的鄰域）_，而截面曲率 ${\displaystyle K(\sigma _{p})}$ 就是曲面 ${\displaystyle S_{p}}$ 在 ${\displaystyle p}$ 點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

定义

设${\displaystyle M}$为黎曼流形，${\displaystyle \sigma }$为${\displaystyle M}$上 p 点处切空间中的二维平面，${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$为${\displaystyle \sigma }$中两个线性无关的向量。 则关于${\displaystyle \sigma }$的截面曲率定义为

${\displaystyle K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over |u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}}}$

其中${\displaystyle R}$是${\displaystyle M}$的黎曼曲率张量。

常截面曲率流形

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况

• 负曲率−1， 双曲几何
• 零曲率，欧几里得几何
• 正曲率+1，椭圆几何

三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质

• 完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数${\displaystyle f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)}$对于所有点p是一个1-凹函数。
• 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数${\displaystyle f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)}$是1-凸函数。

参看

• 黎曼曲率张量
• 黎曼流形的曲率
• 曲率