孤立奇点

假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。

在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。

孤立奇点分为三种：

• 可去奇点
• 极点
• 本性奇点

例子

函数${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$在${\displaystyle z=0}$处有孤立奇点。

余割函数${\displaystyle \csc(\pi z)}$在所有整数点处有孤立奇点。

函数${\displaystyle \exp({\frac {1}{z}})}$在${\displaystyle z=0}$处有孤立奇点，这是一个本质奇点。

复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系

可去奇点、极点、本性奇点的定义

三种孤立奇点有许多等价定义，以下列出部分，用以说明与洛朗级数的关系。

1. 一个孤立奇点${\displaystyle a}$被称作可去奇点，如果${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}<\infty }$；
2. 一个孤立奇点${\displaystyle a}$被称作极点，如果${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}=\infty }$；
3. 一个孤立奇点${\displaystyle a}$被称作本性奇点（又译作本质奇点），如果极限${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}}$不存在。

洛朗级数的主要部分

复函数${\displaystyle f(z)}$在一个以点${\displaystyle c}$为圆心的解析的环形区域${\displaystyle D}$上可以展开成这样的级数形式

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

其中，${\displaystyle a_{n}}$具有这样的形式：${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内。

此时，${\displaystyle f(z)}$的洛朗展开式中，指数为负数的部分${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-c)^{n}}$称作${\displaystyle f(z)}$的主要部分(principal part)。

可去奇点、极点、本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系

以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。

1. 假设${\displaystyle a}$是复函数${\displaystyle f(z)}$的一个可去奇点，则${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
2. 假设${\displaystyle a}$是复函数${\displaystyle f(z)}$的一个极点，则${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点${\displaystyle a}$的阶数。
3. 假设${\displaystyle a}$是复函数${\displaystyle f(z)}$的一个本性奇点，则${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。

证明

相关例子与应用

参见

• 非孤立奇点

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Singularity. MathWorld.