嚴格非迴文數

嚴格非迴文數（strictly non-palindromic number）是指一整數n在2 ≤ b ≤ n − 2範圍內的b進制记数系统中都不是迴文數。

以6為例，在2進制下為110，3進制下為20，4進制下為12，都不是迴文數，因此6是嚴格非迴文數。

頭幾個嚴格非迴文數為（OEIS數列A016038）：

1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …

在定義中進制b的上限為 n - 2 ，而非更大的 n - 1, n, 甚至更大，有以下的原因：

• 任何 n ≥ 2 在 (n - 1)進制下皆為11，是迴文數；
• 任何 n ≥ 2 在 n進制下皆為10，不是迴文數；
• 任何 n ≥ 1 在 b進制 (b > n )下皆為單位數，是迴文數。

可見對此定義來說，使用更大的數作為b的上限，研究意義不大。

性質

所有大於6的嚴格非迴文數都是質數，可以用下式來證明。

證明

${\displaystyle n}$是大於6的嚴格非迴文數，且不為質數。

1. 假如${\displaystyle n}$是偶數，則${\displaystyle n}$在${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}-1}$進制下會是22，是迴文數，矛盾，因此${\displaystyle n}$不能是偶數。
2. ${\displaystyle n}$是奇數，則將${\displaystyle n}$分解為${\displaystyle n=p\cdot m}$，其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle n}$最小的質因數，可得${\displaystyle p\leq m}$。

• 若${\displaystyle p=m=3}$，則${\displaystyle n=9}$，在二進制下為1001，為迴文數，矛盾，因此${\displaystyle n}$不能是9。
• 若${\displaystyle p=m>3}$，則${\displaystyle n}$在${\displaystyle p-1}$進制下會是121，為迴文數，矛盾。

因此${\displaystyle p<m-1}$（${\displaystyle p=m-1}$不會成立，因為${\displaystyle n}$為奇數，其因數也都是奇數）

在此情形下，${\displaystyle n}$在${\displaystyle m-1}$進制下會表示為${\displaystyle {\rm {pp}}}$，為迴文數），矛盾。

因此，若${\displaystyle n}$是大於6的嚴格非迴文數，${\displaystyle n}$必為質數。

參考文獻

• 數列 A016038 來自整數數列線上大全
• Paul Guinand, Strictly non-palindromic numbers, unpublished note, 1996.

外部連結

• T. D. Noe, Table of n, a(n) for n = 1..10001
• K. S. Brown, On General Palindromic Numbers
• P. De Geest, Palindromic numbers beyond base 10（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R. K. Guy, Conway's RATS and other reversals（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Amer. Math. Monthly, 96 (1989), 425-428.