嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 ${\displaystyle A=(a_{ij})}$：

1. 各項皆為整數：${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}\in \mathbb {Z} }$。
2. 對角線上的項等於二：${\displaystyle \forall i,\;a_{ii}=2}$。
3. 非對角線項非正：${\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0}$
4. ${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}=0\Leftrightarrow a_{ji}=0}$。
5. 存在正對角方陣 ${\displaystyle D}$ 使 ${\displaystyle A}$ 可以寫成 ${\displaystyle DSD^{-1}}$，其中 ${\displaystyle S}$ 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 ${\displaystyle S}$ 為正定，則稱 ${\displaystyle A}$ 為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛：${\displaystyle A'=P^{-1}AP}$，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

${\displaystyle a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}$

其中 ${\displaystyle r_{i}}$ 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 ${\displaystyle n}$ 個頂點（n 為嘉當矩陣 ${\displaystyle A}$ 的階數），將頂點 ${\displaystyle i,j}$ 以 ${\displaystyle a_{ij}\cdot a_{ji}}$ 條邊相連。定義每個頂點的權 ${\displaystyle w_{i}}$ 使得 ${\displaystyle w_{j}/w_{i}=a_{ij}/a_{ji}}$，若兩個相鄰頂點 ${\displaystyle i,j}$ 的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論

對於域 ${\displaystyle F}$ 上的有限維結合代數 ${\displaystyle A}$，考慮不可約、${\displaystyle F}$-有限維左 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N_{1},\ldots ,N_{n}}$，對每個 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$，存在唯一的不可分解左射影模 ${\displaystyle P_{i}}$ （至多差一個同構），使得 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (P_{i},N_{i})\neq \{0\}}$。取 ${\displaystyle c_{ij}}$ 為 ${\displaystyle N_{j}}$ 在 ${\displaystyle P_{i}}$ 的合成列中作為合成因子的重數。方陣 ${\displaystyle C:=(c_{ij})}$ 稱為 ${\displaystyle A}$ 的嘉當矩陣。

參考資料

• V.L. Popov, Cartan matrix, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4