可觀察量

斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的${\displaystyle S_{z}}$為上旋，另一道銀原子束的${\displaystyle S_{z}}$為下旋。在這裏，${\displaystyle S_{z}}$是可觀察量。

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述

本徵態

假設，物理量${\displaystyle O}$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$，可能有很多不同的本徵值${\displaystyle O_{i}}$與對應的本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，這些本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成了具有正交歸一性的基底：[1]:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，都可以用這基底的本徵態表示為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是複係數，是在量子態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$裏找到量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$的機率幅。[2]:50

假設，量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$等於這些本徵態之中的一個本徵態${\displaystyle |e_{k}\rangle }$，則對於這量子系統，測量可觀察量${\displaystyle O}$，得到的結果必定等與本徵值${\displaystyle O_{k}}$，機率為1，量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$是「確定態」。

統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[1]:106-109

假設，某量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符${\displaystyle {\hat {O}}}$的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，則改變為這本徵態的機率為${\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}}$，測量結果是本徵值${\displaystyle O_{i}}$，得到這本徵值的機率也為${\displaystyle p_{i}}$。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$。

將算符${\displaystyle {\hat {O}}}$作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，會形成新量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }$。

從左邊乘以量子態${\displaystyle \langle \psi |}$，經過一番運算，可以得到

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量${\displaystyle O}$的期望值：

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量${\displaystyle O}$的期望值是實數：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，這關係都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$是${\displaystyle {\hat {O}}}$的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle }$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。[1]:96-99

不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：[1]:110-112

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}$；

其中，${\displaystyle {\hat {A}}}$、${\displaystyle {\hat {B}}}$分別是可觀察量${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的算符。

這兩種算符${\displaystyle {\hat {A}}}$與${\displaystyle {\hat {B}}}$絕對不會有共同的基底。一般而言，${\displaystyle {\hat {A}}}$的本徵態與${\displaystyle {\hat {B}}}$的本徵態不同[註 1]假設量子系統的量子態為${\displaystyle |\psi \rangle }$。對於算符${\displaystyle {\hat {A}}}$，所有本徵值為${\displaystyle a_{i}}$的本徵態${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成一個基底。量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle }$是複係數，是在量子態${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$裏找到量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$的機率幅。[2]:50

對於算符${\displaystyle {\hat {B}}}$，所有本徵值為${\displaystyle b_{i}}$的本徵態${\displaystyle |\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成了另外一個基底。量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle }$是複係數，是在量子態${\displaystyle |\beta _{i}\rangle }$裏找到量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$的機率幅。[2]:50

對於量子系統的可觀察量${\displaystyle A}$做測量，可能得到的結果是各種本徵態${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$的本徵值${\displaystyle a_{i}}$，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為${\displaystyle a_{i}}$的機率是${\displaystyle |c_{i}|^{2}}$。

假設測量的結果是本徵值${\displaystyle a_{j}}$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$。假若立刻再測量可觀察量${\displaystyle A}$，由於量子態仍舊是本徵態${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$，所得到的測量值是本徵值${\displaystyle a_{i}}$機率為1。假若立刻再對本徵態${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$測量可觀察量${\displaystyle B}$，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值${\displaystyle b_{k}}$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態${\displaystyle |\beta _{k}\rangle }$。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|}$。

設定${\displaystyle \chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|}$。假設，${\displaystyle A}$與${\displaystyle B}$是兩個不相容可觀察量，則${\displaystyle \chi >0}$。而${\displaystyle A}$的不確定性與${\displaystyle B}$的不確定性的乘積${\displaystyle \Delta A\ \Delta B}$，必定大於或等於${\displaystyle \chi }$。

實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置與動量

位置${\displaystyle x}$，動量${\displaystyle p}$都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}}$，

${\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}}$。

角動量

在三維空間裏，角動量算符的x-分量${\displaystyle {\hat {L}}_{x}}$是厄米算符。因為

${\displaystyle \langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle }$；

其中，${\displaystyle y}$與${\displaystyle z}$分別是位置的y-分量與z-分量，${\displaystyle p_{y}}$與${\displaystyle p_{z}}$分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量${\displaystyle {\hat {L}}_{y}}$也是厄米算符。

參閱

• 位置算符
• 動量算符
• 角動量算符
• 哈密頓算符

註釋

1. 通常這句話成立，但也存在有例外。思考氫原子的角量子數為零（${\displaystyle \ell =0\ }$）的量子態，它是${\displaystyle L_{x}}$、${\displaystyle L_{y}}$、${\displaystyle L_{z}}$的本徵態，本徵值都為零，而這三個自伴算符都互不對易，它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。[3]

參考文獻

1. Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
2. Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
3. A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)