卡布列克常數

卡布列克常數（英語：Kaprekar's constant），又稱卡布列克常式（英語：Kaprekar's routine）、卡普雷卡爾常數、卡普雷卡爾常式、黑洞數，是指一種專指四位數的特定函數關係，在某排列順序後，其演算式最後都會對應到6174。因此又名：6174問題、數字固定點、數字黑洞等...

關於黑洞數

黑洞數是指於四位數中，只要數字不完全相同，將數字由大到小的排列減去由小到大的排列，经有限操作后，总会得到某一个或一些数的数[1]。假設一開始選定的數字為${\displaystyle x_{1}}$，${\displaystyle x_{2}}$=f(${\displaystyle x_{1}}$)，${\displaystyle x_{3}}$=f(${\displaystyle x_{2}}$)，...，${\displaystyle x_{n}}$=f(${\displaystyle x_{n-1}}$) 用同樣的規則繼續算下去，最後的結果一定是6174[1]。 比如說一開始選定9891，則f(9891)=9981-1899=8082，f(8082)=8820-0288=8532，f(8532)=8532-2358=6174，f(6174)=7641-1467=6174~
其他的四位數經過這樣一系列的運算後，在七步之內都會對應到6174。這種現象類似黑洞（進去後就出不來了），故稱為黑洞數[1]。

歷史

1955年[2]，由卡普耶卡（英语：D. R. Kaprekar）(D.R.Kaprekar)所提出，前蘇聯作家高基莫夫，在其所著數學的敏感一書，曾將其列為「沒有揭開的秘密」。目前，這個問題已獲解決。解決的方式在於「任意整數之固定點及k次循環之搜尋」。

其它位數的狀況

其實並非只有四位數有這樣的狀況，三位數也有一數495，任何三位數經過這樣的運算都會對應到495。其它位數就沒有像三位數及四位數這樣單純的狀況，會對應到不只一種結果，或是進入數字循環(即數個數循環對應)。
2位數的狀況:沒有黑洞，只有1個5成員的循環

09${\displaystyle \to }$81${\displaystyle \to }$63${\displaystyle \to }$27${\displaystyle \to }$45${\displaystyle \to }$09

5位數的狀況:沒有黑洞，有3個循環

71973${\displaystyle \to }$83952${\displaystyle \to }$74943${\displaystyle \to }$62964${\displaystyle \to }$71973

82962${\displaystyle \to }$75933${\displaystyle \to }$63954${\displaystyle \to }$61974${\displaystyle \to }$82962

53955${\displaystyle \to }$59994${\displaystyle \to }$53955

6位數的狀況:有2個黑洞631764、549945，還有1個7個成員的循環

420876${\displaystyle \to }$851742${\displaystyle \to }$750843${\displaystyle \to }$840852${\displaystyle \to }$860832${\displaystyle \to }$862632${\displaystyle \to }$642654${\displaystyle \to }$420876

7位數的狀況:沒有黑洞，只有1個8成員的循環

7509843${\displaystyle \to }$9529641${\displaystyle \to }$8719722${\displaystyle \to }$8649432${\displaystyle \to }$7519743${\displaystyle \to }$8429652${\displaystyle \to }$7619733${\displaystyle \to }$8439552${\displaystyle \to }$7509843

8位數的狀況:有2個黑洞63317664、97508421，还有2个循环

86526432${\displaystyle \to }$64308654${\displaystyle \to }$83208762${\displaystyle \to }$86526432

86308632${\displaystyle \to }$86326632${\displaystyle \to }$64326654${\displaystyle \to }$43208766${\displaystyle \to }$85317642${\displaystyle \to }$75308643${\displaystyle \to }$84308652${\displaystyle \to }$86308632

9位數的狀況:有2個黑洞554999445、864197532，还有1个14个成员的循环

883098612${\displaystyle \to }$976494321${\displaystyle \to }$874197522${\displaystyle \to }$865296432${\displaystyle \to }$763197633${\displaystyle \to }$844296552${\displaystyle \to }$762098733${\displaystyle \to }$964395531${\displaystyle \to }$863098632${\displaystyle \to }$965296431${\displaystyle \to }$873197622${\displaystyle \to }$865395432${\displaystyle \to }$753098643${\displaystyle \to }$954197541${\displaystyle \to }$883098612

10位數的狀況:有3個黑洞6333176664、9753086421、9975084201，还有5个循环

8653266432${\displaystyle \to }$6433086654${\displaystyle \to }$8332087662${\displaystyle \to }$8653266432

6431088654${\displaystyle \to }$8732087622${\displaystyle \to }$8655264432${\displaystyle \to }$6431088654

6543086544${\displaystyle \to }$8321088762${\displaystyle \to }$8765264322${\displaystyle \to }$6543086544

8633086632${\displaystyle \to }$8633266632${\displaystyle \to }$6433266654${\displaystyle \to }$4332087666${\displaystyle \to }$8533176642${\displaystyle \to }$7533086643${\displaystyle \to }$8433086652${\displaystyle \to }$8633086632

9775084221${\displaystyle \to }$9755084421${\displaystyle \to }$9751088421${\displaystyle \to }$9775084221

參考資料

1. 數學黑洞的魅力：6174到底憑什麼讓你癡迷. BBC. 2019-12-14 [2022-08-08]. （原始内容存档于2022-10-08） （中文（繁體））. 
2. 1949年： Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica 15: 244–245.

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