博雷尔-卡拉西奥多里定理

在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述

设函数${\displaystyle f}$在以原点为圆心以${\displaystyle R}$为半径的闭圆盘上解析。假设${\displaystyle r<R}$，则有以下不等式：

${\displaystyle \|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|}$

其中左边的范数是${\displaystyle f}$在闭圆盘上的最大值：

${\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}{|f(z)|}=\max _{|z|=r}{|f(z)|}}$

证明

定义${\displaystyle A=\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}}$。

首先设${\displaystyle f(0)=0}$。由于${\displaystyle \operatorname {Re} {f}}$是调和的，可以取${\displaystyle A>0}$。${\displaystyle f}$映到直线${\displaystyle x=A}$左边的半平面${\displaystyle P}$。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

${\displaystyle w\mapsto w/A-1}$把${\displaystyle P}$变成标准左半平面。${\displaystyle w\mapsto R(w+1)/(w-1)}$把左半平面变成圆心在原点且半径为${\displaystyle R}$的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射：

${\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}}$

对上面这个映射与${\displaystyle f}$的复合使用施瓦茨引理，得到

${\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|}$

取${\displaystyle |z|<r}$，上式变为

${\displaystyle R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar}$

所以

${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}}$

对于一般的情况，考虑${\displaystyle f(z)-f(0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {(f(w)-f(0))}}\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {f(w)}+|f(0)|}\right)\\\end{aligned}}}$

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.