包含映射

在數學裡，若A為B的子集，則其包含映射（英語：Inclusion map）為一函數，其將A的每一元素映射至B內的同一元素：

i:A → B, i(x) = x.

「有鉤箭頭」${\displaystyle \hookrightarrow }$有時被用來標記一內含映射。

此一及其他類似的由子結構映射的單射函數有時會被稱為自然單射。

給定任一於對象X和Y之間的態射，若存在一映射至其定義域的內含映射i:A→X，則可形成一f的限制${\displaystyle /fi}$:A→Y。在許多的例子內，亦可以建立一映射至陪域的內含映射R→Y，其中R為f值域的子集。

內含映射

內含映射傾向於代數結構的同態；更精確地說，給定一於某些運算下封閉的子結構，其內含映射將會是一個同態，因為由其定義可得出的一當然原因。例如，一二元運算 ⋆，其需要有

${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$

因為 ⋆ 在子模型和大模型裡的運算一致。在一元運算的情況下也是類似的；但也要注意零元運算，其給出一常數元素。這裡的重點在於其封閉性，表示其常數必須於子結構內。

微分幾何中有多種不同的的內含映射，例如子流形的嵌入；由此可導出某些反變對象（例如微分形式）的「限制映射」，其方向恰好相反。在代數幾何中的內含映射則稍複雜，此時不僅須考慮底層拓撲空間的映射，也須考慮結構層的同態，例如以下兩個交換環譜的包含映射

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$

儘管拓撲上一致，卻是不同的映射；其中 R 是交換環而 I 是其理想。

另見

• 恆等函數