佩龙公式

在数学或更具体地，其分支解析数论中，佩龙公式（英語：Perron's formula）源自德國數學家奥斯卡·佩龙，是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。

定理陈述

令 ${\displaystyle \{a(n)\}}$ 为一算术函数，并令

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ 一致收敛，那么佩龙公式为：

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

此处求和符号上的一撇表示当x是整数时，和式中最后一项要乘以1/2。这个积分不是收敛的勒贝格积分，应当理解为柯西主值。这个公式要求 c > 0, c > σ 和实数x > 0，但除以上条件以外别无限制。

证明

用阿贝尔求和公式可以得到一个简单的证明梗概：

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

这不过是在变量代换${\displaystyle x=e^{t}}$下的拉普拉斯变换，运用拉普拉斯变换的反转公式就能得到佩龙公式。

例子

由于和狄利克雷级数的关系，佩龙公式常被用于解析数论中的求和。例如我们对黎曼ζ函数有如下的著名积分表示：

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx.}$

对于狄利克雷L函数也有类似的公式：

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

其中

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

和 ${\displaystyle \chi (n)}$ 是狄利克雷特征.

参考文献

• 第243页，Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. 1976. ISBN 978-0-387-90163-3. MR 0434929. Zbl 0335.10001. 
• 埃里克·韦斯坦因. Perron's formula. MathWorld. 
• Tenebaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.