伯克霍夫-格罗滕迪克定理

在代数几何学中，伯克霍夫-格罗滕迪克定理（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻画了复射影直线上的全纯向量丛。具体而言，所有 ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和[1]。

正式表述

伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$ 上，任何一个全纯向量丛 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 总是全纯同构于线丛的直和

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

该表示在不计直和项的排列顺序的意义下是唯一的。

推广

伯克霍夫-格罗滕迪克定理可以被推广。对于复射影直线 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 上的代数向量丛，该结论也成立，其中 ${\displaystyle k}$ 是任意的一个域[2]。

参见

• K-理论
• 欧拉正合列
• 射影空间

参考资料

1. Grothendieck, A. Sur La Classification Des Fibres Holomorphes Sur La Sphere de Riemann. American Journal of Mathematics. 1957-01, 79 (1): 121 [2021-01-11]. doi:10.2307/2372388. （原始内容存档于2020-07-06）. 
2. Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line. Journal of Pure and Applied Algebra. 1982-08, 25 (2): 207–211 [2021-01-11]. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. （原始内容存档于2019-02-05） （英语）. 

延伸阅读

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. Vector bundles on complex projective spaces. Progress in Mathematics. Birkhäuser. 1980.