交替方向隐式法

数值分析中，交替方向隐式法（Alternating direction implicit method）是有限差分法的一种，用于求解抛物线型偏微分方程或椭圆型偏微分方程[1]。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程与扩散方程。

求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法，该方法较为耗时。ADI的优点在于，每一迭代步中，所求解的方程具有更为简单的结构，因此更易于求解。

方法

考虑二维扩散方程,

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)=(u_{xx}+u_{yy})\quad }$

隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程：

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n} \over \Delta t}={1 \over 2}\left(\delta _{x}^{2}+\delta _{y}^{2}\right)\left(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^{n}\right)}$

其中，${\displaystyle \delta _{p}}$是关于坐标方向p上的中心差分算符。通过稳定性分析可以证明该方法对于任意${\displaystyle \Delta t}$都表现稳定。

但是，Crank-Nicolson方法的缺点在于，上述方程中的带状矩阵分布过宽，这使得求解方程相当耗时。

ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个，一个在x方向上隐式求导，另一个在y方向上隐式求导。

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^{n} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n}\right)}$

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n+1}\right).}$

这样，该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵，可以用三对角阵的求解算法进行计算。

可以证明，二维条件下该方法无条件稳定[2]。

在此基础上扩展有更多的ADI方法，如Douglas[3]，f-factor方法[4]，可用于求解三维及更高维的问题。

参考文献

1. Peaceman, D. W.; Rachford Jr., H. H., The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1955, 3: 28–41, MR0071874 .
2. Douglas, Jr., J., On the numerical integration of u_xx+ u_yy= u_tt by implicit methods, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 1955, 3: 42–65, MR0071875 .
3. Douglas Jr., Jim, Alternating direction methods for three space variables, Numerische Mathematik, 1962, 4: 41–63, ISSN 0029-599X, doi:10.1007/BF01386295 .
4. Chang, M. J.; Chow, L. C.; Chang, W. S., Improved alternating-direction implicit method for solving transient three-dimensional heat diffusion problems, Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals, 1991, 19 (1): 69–84, ISSN 1040-7790, doi:10.1080/10407799108944957 .