不失一般性

不失一般性（without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG）是数学证明中的一种用词，表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设，但是其仍然充分证明了原命题，而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。[1]

例子

舒尔不等式声称，对于任意非负实数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$和正数${\displaystyle t}$都有:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0.}$

对其的证明便可以假设：

不失一般性，设${\displaystyle x\geq y\geq z}$。

因为${\displaystyle \geq }$是实数集上的全序关系，${\displaystyle x\geq y\geq z}$、${\displaystyle x\geq z\geq y}$、${\displaystyle y\geq x\geq z}$、${\displaystyle y\geq z\geq x}$、${\displaystyle z\geq x\geq y}$、${\displaystyle z\geq y\geq x}$六种情况中中至少有一种成立。舒尔不等式的对称性使得在${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$之间交换名字仍会得到完全相同的不等式。只需有以上任意一种情况下的证明，则任一其他情况下均可以简单地通过变换该证明中的字母而得证。因此证明中可以假设${\displaystyle x\geq y\geq z}$，而略去其他情况下的证明。[1]

一些可以直接地被变换为另一种更简单形式的命题，其证明中也可用到该词。如代数基本定理：

任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。

其证明可以假设：

不失一般性，设该多项式最高次项的系数为${\displaystyle 1}$。[2]

因为该多项式最高次项原本的系数不为${\displaystyle 0}$，而多项式乘以任意常数均不改变其根的性质，故可以作出此假设。

參考資料

1. John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. （原始内容存档于2023-12-25）. 
2. Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. （原始内容存档于2023-12-25）. 

參見

• Up to
• 數學術語列表（英语：Mathematical jargon）
• 準用

外部連結

• WLOG. PlanetMath.