此條目介紹的是不可因式分解的多項式。关于不可寫成多項式的複合之多項式，请见「
多項式解複合 」。
在數學 裡，不可約多項式 （英語：Irreducible polynomial ，或稱質式 ，對應到自然數 中的質數 ）是指不可被分解成兩個非常數多项式 之乘積的非常数 多項式。不可約的性質取決於係數 所屬於的域 或環 。例如，多項式
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
整數 時是不可約的，而在這些係數被認為是實數 時可分解成
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
不是不可約的多項式有時會被稱為可約 [ 1] [ 2]
不可約多項式於多項式分解與代數體擴張 裡都會自然地出現。
將不可約多項式與質數相比會很有幫助：質數（與具相同大小之對應負數）為不可約的整數 。質數具有的許多「不可約」這個概念之一般性質，同樣可適用於不可約多項式之上，如質數或不可約因式的唯一分解。
設F為一個體，一非常數多項式在F上不可約 ，若其係數屬於F，且無法分解成兩個係數為F之非常數多項式的乘積。
具整數係數（或更一般地，具唯一分解整環 R內之係數）的多項式 被稱為在R上不可約 ，若該多項式為多項式環 （在唯一分解整環上的多項式環也是一唯一分解整環）內的不可約元素 ，亦即該多項式不可逆 、非零，且無法分解成兩個係數在R內的不可逆多項式之乘積。另一個常用定義為，一多項式「在R上不可約」，若該多項式在R的分式環 （若R為整數，即為一有理數 體）上不可約。兩種定義擴展了係數於一個體內之情形所給定的定義，所以在此情形下，非常數多項式係指不可逆且非零之多項式。
以下6個多項式給出了不可約的一些基本性質，以及其不可約多項式：
p
1
(
x
)
=
x
2
+
4
x
+
4
=
(
x
+
2
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}}
p
2
(
x
)
=
x
2
−
4
=
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}}
p
3
(
x
)
=
9
x
2
−
3
=
3
(
3
x
2
−
1
)
=
3
(
x
3
−
1
)
(
x
3
+
1
)
{\displaystyle p_{3}(x)=9x^{2}-3\,=3(3x^{2}-1)\,=3(x{\sqrt {3}}-1)(x{\sqrt {3}}+1)}
p
4
(
x
)
=
x
2
−
4
9
=
(
x
−
2
3
)
(
x
+
2
3
)
{\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)}
p
5
(
x
)
=
x
2
−
2
=
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}
p
6
(
x
)
=
x
2
+
1
=
(
x
−
i
)
(
x
+
i
)
{\displaystyle p_{6}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}}
在整數 環
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
在有理數 體
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
單位 ，因此無法視為一個因式。）
在實數 體
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
在複數 體
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
在複數體 （或更一般地，在代數閉體 ）上，一單變量多項式為不可約，若且唯若該多項式的階 為1。此即複數體中的代數基本定理 （或更一般地，在代數閉體中）。
可知，每個非常數單變量多項式都可被分解為
a
(
x
−
z
1
)
⋯
(
x
−
z
n
)
{\displaystyle a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})}
其中n為該多項式的階，a為該多項式的首項係數，且
z
1
,
…
,
z
n
{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}
對多元多項式而言，各階多項式在複數上都存在著不可約多項式。例如，定義了費馬曲線 的多項式
x
n
+
y
n
−
1
,
{\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}
對每個正整數n而言，均為不可約。
在實數體 上，不可約單變量多項式的階不是1，就是2。更精確地說，不可約多項式為一階多項式，以及具負判別式
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
二次多項式
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
x
4
+
1
{\displaystyle x^{4}+1}
(
x
2
+
2
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
1
)
,
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1),}
(
±
2
)
2
−
4
=
−
2
<
0
{\displaystyle (\pm {\sqrt {2}})^{2}-4=-2<0}
在體F上的每個多項式均可被分解成一非零常數與有限多個（在F上的）不可約多項式之乘積。此一分解除了因式的排序不同，及可被乘上任意個1之外，是唯一的。
在唯一分解整環 上，同樣的定理亦會成立，但可利用原始多項式 的概念更精確地形式化。原始多項式是一個在唯一分解整環上的多項式，會使得1為其係數之最大公因數 。
設F為唯一分解整環。在F上的非常數不可約多項式會是個原始多項式。在F上的原始多項式在F上不可約，若且唯若該多項式在F的分式環 上不可約。每個在F上的多項式均可分解成一非零常數與有限多個非常數不可約原始多項式的乘積。該非零常數自身可分解成F內單位元 與有限多個不可約元素 的乘積。上述兩種分解除了因式的排序不同，及可被乘上任意個單位元之外，均是唯一的。
此一定理使得「在唯一分解整環上的不可約多項式」之定義，通常會假設該多須式必須為非常數多項式。
所有目前已實現用來分解在整數 上與在有理數 上之多項式的演算法 都會用到此一結論（見因式分解 ）。
在整數
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
/
p
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
p
2
{\displaystyle p^{2}}
不過，反之不一定成立：在整數上不可約的隨意多階多項式均有可能在每個有限體上是可約的[ 3]
x
4
+
1
{\displaystyle x^{4}+1}
在整數上與在模p上的不可約性之間有著比上述結論更為深切的關係：迄止為止，所有實現用於在整數上與在有理數上之分解與不可約性的演算法，都會使用在有限體上的分解作為其子程序 。
多項式的唯一分解性質並不意味著給定一個多項式，總是可以計算出其分解。一個多項式的不可約性也不一定總是可藉由直接計算來證明：存在體，
沒有演算法 能用來判斷其中隨意多項式的不可約性。[ 4]
用來分解多項式與判斷其不可約性的演算法，於在整數上、在有理數上、在有限體 上，以及在這些體之有限生成體擴張 上的多項式之中，都已被找到，並已實作於電腦代數系統 裡。
不可約多項式與代數體擴張 之間密切相關，如下所述。
令x為體K的擴張 L內之一元素。該元素被稱為「代數」的，若該元素是係數屬於K之多項式的根 。在其根包括x之多項式中，會有且僅會有一個最小階的首一多項式 ，稱之為x的最小多項式 。L內之代數元素x的最小多項式為不可約，且是以x為其根的唯一一個首一不可約多項式。x的最小多項式會整除每個其根包含x的多項式（阿貝爾不可約定理 ）。
相對地，若
P
(
X
)
∈
K
[
X
]
{\displaystyle P(X)\in K[X]}
L
=
K
[
X
]
/
P
(
X
)
{\displaystyle L=K[X]/P(X)}
理想 所形成之商環 ，則L是個體，若且唯若P在K上為不可約。在此情形下，若x是X於L內的值，則x的最小多項式為P除以其首項係數 之商。
複數 的標準定義
C
=
R
[
X
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
若一多項式P在K上有個大於1階之不可約因式Q，上述代數擴張之建構可適用於Q，以得到一個比P在K內有更多根的擴張。重復此一建構，最終會得到能將P分解成線性因式的體。該體在體同態 的意義下是唯一的，且稱之為P的分裂體 。
令R為一整環 。R內非零，亦非單位元之一元素f被稱為不可約 ，若不存在非單位元之元素g與h，使得f = gh。可證明，每個質元素 均為不可約[ 5] 唯一分解整環 內為真。在一體F（或任一唯一分解整環）上之多項式環 F[x]亦為唯一分解整環。以此類推，若R為唯一分解整環，可知在環R上具n個未變數的多項式環也會是唯一分解整環。
^ Gallian 2012 ，第311頁^ Mac Lane & Birkhoff 1999 ，第268頁該書沒有明確定義「可約」，但使用在許多地方。例如，「目前只提到，任一可約二次或三次多項式必定有一個線性因式。」^ David Dummit; Richard Foote. chapter 9, Proposition 12. Abtract Algebra . John Wiley & Sons, Inc. 2004: 309 . ISBN 0-471-43334-9 ^ Fröhlich, A.; Shepherson, J. C., On the factorisation of polynomials in a finite number of steps, Mathematische Zeitschrift, 1955, 62 (1), ISSN 0025-5874 doi:10.1007/BF01180640 ^ Hungerford 1980 ，Theorem III.3.4(iii)
Lang, Serge , Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag , 2002, ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556 Gallian, Joseph , Contemporary Abstract Algebra 8th, Cengage Learning, 2012 Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald , Finite fields 2nd, Cambridge University Press , 1997, ISBN 978-0-521-39231-0 pp. 91 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett , Algebra 3rd, American Mathematical Society, 1999 Menezes, Alfred J. ; Van Oorschot, Paul C. ; Vanstone, Scott A. , Handbook of applied cryptography, CRC Press , 1997, ISBN 978-0-8493-8523-0 pp. 154 .Hungerford, Thomas W. , Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974, New York: Springer-Verlag , 1980, ISBN 978-0-387-90518-1MR 0600654
此條目介紹的是不可因式分解的多項式。关于不可寫成多項式的複合之多項式，请见「多項式解複合」。
![{\displaystyle P(X)\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbf6a56e7c4b31f7f192187a9b38112399a9faa)
![{\displaystyle L=K[X]/P(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f65fcbb1871027678df6ae22f155a99ef123d83)
![{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa9640da3f1e66d74b396640053c93122352dc1)