Thuật toán Prim có nhiều ứng dụng, chẳng hạn như xây dựng mê cung trên, bằng cách áp dụng thuật toán Prim cho một đồ thị lưới có trọng số ngẫu nhiên.
Thuật toán xuất phát từ một cây chỉ chứa đúng một đỉnh và mở rộng từng bước một, mỗi bước thêm một cạnh mới vào cây, cho tới khi bao trùm được tất cả các đỉnh của đồ thị.
Dữ liệu vào: Một đồ thị có trọng số liên thông với tập hợp đỉnh V và tập hợp cạnh E (trọng số có thể âm). Đồng thời cũng dùng V và E để ký hiệu số đỉnh và số cạnh của đồ thị.
Khởi tạo: Vmới = {x}, trong đó x là một đỉnh bất kì (đỉnh bắt đầu) trong V, Emới = {}
Lặp lại cho tới khi Vmới = V:
Chọn cạnh (u, v) có trọng số nhỏ nhất thỏa mãn u thuộc Vmới và v không thuộc Vmới (nếu có nhiều cạnh như vậy thì chọn một cạnh bất kì trong chúng)
Thêm v vào Vmới, và thêm cạnh (u, v) vào Emới
Dữ liệu ra: Vmới và Emới là tập hợp đỉnh và tập hợp cạnh của một cây bao trùm nhỏ nhất
Một cách lập trình đơn giản sử dụng ma trận kề và tìm kiếm toàn bộ mảng để tìm cạnh có trọng số nhỏ nhất có thời gian chạy O(V2). Bằng cách sử dụng cấu trúc dữ liệu đống nhị phân và danh sách kề, có thể giảm thời gian chạy xuống O(E log V). Bằng cách sử dụng cấu trúc dữ liệu đống Fibonacci phức tạp hơn, có thể giảm thời gian chạy xuống O(E + V log V), nhanh hơn thuật toán trước khi đồ thị có số cạnh E=ω(V).
Ví dụ
Hình minh họa
U
Cạnh (u,v)
V \ U
Mô tả
{}
{A,B,C,D,E,F,G}
Đây là đồ thị có trọng số ban đầu. Các số là các trọng số của các cạnh.
{D}
(D,A) = 5 V (D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6
{A,B,C,E,F,G}
Chọn một cách tùy ý đỉnh D là đỉnh bắt đầu. Các đỉnh A, B, E và F đều được nối trực tiếp tới D bằng cạnh của đồ thị. A là đỉnh gần D nhất nên ta chọn A là đỉnh thứ hai của cây và thêm cạnh AD vào cây.
{A,D}
(D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6 V (A,B) = 7
{B,C,E,F,G}
Đỉnh được chọn tiếp theo là đỉnh gần D hoặc A nhất. B có khoảng cách tới D bằng 9 và tới A bằng 7, E có khoảng cách tới cây hiện tại bằng 15, và F có khoảng cách bằng 6. F là đỉnh gần cây hiện tại nhất nên chọn đỉnh F và cạnh DF.
Ở bước này ta chọn giữa C, E, và G. C có khoảng cách tới B bằng 8, E có khoảng cách tới B bằng 7, và G có khoảng cách tới F bằng 11. E là đỉnh gần nhất, nên chọn đỉnh E và cạnh BE.
{A,B,D,E,F}
(B,C) = 8 (D,B) = 9 chu trình (D,E) = 15 chu trình (E,C) = 5 V (E,G) = 9 (F,E) = 8 chu trình (F,G) = 11
{C,G}
Ở bước này ta chọn giữa C và G. C có khoảng cách tới E bằng 5, và G có khoảng cách tới E bằng 9. Chọn C và cạnh EC.
{A,B,C,D,E,F}
(B,C) = 8 chu trình (D,B) = 9 chu trình (D,E) = 15 chu trình (E,G) = 9 V (F,E) = 8 chu trình (F,G) = 11
{G}
Đỉnh G là đỉnh còn lại duy nhất. Nó có khoảng cách tới F bằng 11, và khoảng cách tới E bằng 9. E ở gần hơn nên chọn đỉnh G và cạnh EG.
{A,B,C,D,E,F,G}
(B,C) = 8 chu trình (D,B) = 9 chu trình (D,E) = 15 chu trình (F,E) = 8 chu trình (F,G) = 11 chu trình
{}
Hiện giờ tất cả các đỉnh đã nằm trong cây và cây bao trùm nhỏ nhất được tô màu xanh lá cây. Tổng trọng số của cây là 39.
Chứng minh
Đặt G là một đồ thị có trọng số liên thông. Trong mỗi bước, thuật toán Prim chọn một cạnh nối một đồ thị con với một đỉnh không thuộc đồ thị con đó. Vì G liên thông nên luôn tồn tại đường đi từ mỗi đồ thị con tới tất cả các đỉnh còn lại. Kết quả T của thuật toán Prim là một cây, vì các cạnh và đỉnh được thêm vào T là liên thông và cạnh mới thêm không bao giờ tạo thành chu trình với các cạnh cũ. Đặt T1 là một cây bao trùm nhỏ nhất của G. Nếu T1=T thì T là cây bao trùm nhỏ nhất. Nếu không, đặt e là cạnh đầu tiên được thêm vào T mà không thuộc T1, và V là tập hợp các đỉnh thuộc T trước khi thêm e. Một đầu của e thuộc V và đầu kia không thuộc V. Vì T1 là một cây bao trùm của G, nên tồn tại đường đi trong T1 nối hai đầu của e. Trên đường đi đó, nhất định tồn tại cạnh f nối một đỉnh trong V với một đỉnh ngoài V. Trong bước lặp khi e được thêm vào Y, thuật toán cũng có thể chọn f thay vì e nếu như trọng số của nó nhỏ hơn e. Vì f không được chọn nên
Đặt T2 là đồ thị thu được bằng cách xóa f và thêm e vào T1. Dễ thấyT2 liên thông, có cùng số cạnh như T1, và tổng trọng số các cạnh không quá trọng số của T1, nên nó cũng là một cây bao trùm nhỏ nhất của G và nó chứa e cũng như tất cả các cạnh được thuật toán chọn trước nó. Lặp lại lập luận trên nhiều lần, cuối cùng ta thu được một cây bao trùm nhỏ nhất của G giống hệt như T. Vì vậy T là một cây bao trùm nhỏ nhất.
Tham khảo
V. Jarník (1930), “O jistém problému minimálním”, Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6: 57–63 (Tiếng Séc)
R. C. Prim (1957), “Shortest connection networks and some generalizations”, Bell System Technical Journal, 36: 1389–1401(tiếng Anh)
Cheriton, David; Tarjan, Robert E. (1976), “Finding minimum spanning trees”, SIAM Journal on Computing, 5 (4): 724–741(tiếng Anh)
Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2009), Introduction to Algorithms (ấn bản thứ 3), MIT Press, ISBN0-262-03384-4 Phần 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, tr. 631–638.(tiếng Anh)
Liên kết ngoài
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Thuật toán Prim.
