Bất đẳng thức Karamata

Trong toán học, bất đẳng thức Karamata[1] (tiếng Anh: Karamata's inequality[2]), được đặt tên của nhà toán học Jovan Karamata, còn được biết tới là bất đẳng thức bộ trội là một định lý trong đại số sơ cấp về hàm số lồi và lõm xét trên tập số thực. Bất đẳng thức Karamata là trường hợp tổng quát hơn của bất đẳng thức Jensen và được khái quát thành hàm số lồi Schur.

Phát biểu

Cho tập I là một khoảng trên trục số thực và f là lồi trên tập I. Nếu x₁,..., x_n và y₁,..., y_n là các số trong tập I nhưng (x₁,..., x_n) trội hơn (y₁,..., y_n), thì

${\displaystyle f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n}).}$

(1)

Ở đây, trội hơn có nghĩa rằng

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}}$

(2)

và, sau khi gắn nhãn lại các con số trong tập x₁,..., x_n và y₁,..., y_n, lần lượt theo thứ tự giảm dần,

${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}}$    and    ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n},}$

(3)

chúng ta có

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{i}\geq y_{1}+\cdots +y_{i}}$     cho tất cả i ∈ {1,..., n − 1}.

(4)

Nếu f  là một hàm lồi thực sự thì bất đẳng thức (1) sẽ nhận dấu bằng khi và chỉ khi việc gắn nhãn lại theo (3), chúng ta có x_i = y_i cho tất cả i ∈ {1,..., n}.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Jensen
• Bất đẳng thức Popoviciu

Tham khảo

1. Jovašević, Ana (2010). “EVROPSKI KULTURNI IDENTITET”. Politička revija. 23 (1): 489–496. doi:10.22182/pr.2312010.24. ISSN 1451-4281.
2. DIN EN ISO 11073-20101:2006-10, Medizinische Informatik_- Kommunikation patientennaher medizinischer Geräte_- Teil_20101: Anwendungsprofil_- Basisnorm (ISO/IEEE_11073-20101:2004); Englische Fassung EN_ISO_11073-20101:2005, Beuth Verlag GmbH, truy cập ngày 12 tháng 11 năm 2022