Trong lượng giác, Định lý cos (hay công thức cosine, luật cosine hoặc Định lý al-Kashi[1]) biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác với cosin của góc tương ứng. Sử dụng các kí hiệu trong Hình 1, ta có thể phát biểu định lý cos dưới dạng công thức như sau:
Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại:
Định lý cos là trường hợp tổng quát của định lý Pythagoras khi mà định lý này chỉ đúng trong tam giác vuông, khi mà góc γ là một góc vuông, từ đó dẫn tới và khiến cho định lý cos suy biến trở thành định lý Pythagoras:
Định lý này được sử dụng để tính một cạnh chưa biết của tam giác - khi biết được hai cạnh còn lại và góc đối cạnh đó.
Ứng dụng
Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:
cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:
cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:
Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc haia2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.
Chứng minh
Sử dụng công thức tính khoảng cách
Trong hệ tọa độ Descartes, cho tam giácABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là
Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có
do đó
Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.
Sử dụng công thức lượng giác
Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có
(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được
Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ Cơ sở.[2] Chú ý rằng
Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.
Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:
với lưu ý rằng
Cũng từ Hình 6 ta có:
Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.
Sử dụng định lý Ptolemy
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. Dựng tam giácABD bằng tam giácABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đường cao từ D và C, cắt AB lần lượt tại E và F. Ta có:
^Casey, John (1889). A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. London: Longmans, Green, & Company. tr. 133.