Тест Соловея — Штрассена — імовірнісний тест простоти, відкритий у 1970-х роках Робертом Мартіном Соловеем спільно з Фолькером Штрассеном.[1] Тест завжди коректно визначає, що просте число є простим, але для складених чисел з деякою ймовірністю він може дати неправильну відповідь. Основна перевага тесту полягає в тому, що він, на відміну від тесту Ферма, розпізнає числа Кармайкла як складені.
Історія
У 17 столітті Ферма довів твердження, назване пізніше малою теоремою Ферма, що слугує основою тесту Ферма на простоту:
- Якщо n — просте і a не ділиться на n, то .
Ця перевірка для заданого n не вимагає великих обчислень, однак твердження, протилежне цьому, є невірним. Так, існують числа Кармайкла, які є складеними, для яких твердження, наведене в малій теоремі Ферма, виконується для всіх цілих чисел взаємнопростих з заданим числом. У 1994 році було показано, що таких чисел нескінченно багато.[2] У зв'язку з виявленим недоліком тесту Ферма, актуальності набуло завдання збільшення достовірності ймовірнісних тестів. Першим тест, що відсіює числа Кармайкла як складені, запропонував Леманн. Цей недолік відсутній також у тестах Соловея — Штрассена і Міллера — Рабіна за рахунок більш сильного критерію відсіву, ніж мала теорема Ферма. Незалежно від один одного Д. Лемер в 1976 році і Р. Соловей спільно з Ф. Штрассеном в 1977 році довели, що аналога чисел Кармайкла, які є складеними і одночасно ейлеровими псевдопростими, немає. На основі цього і був запропонований тест Соловея — Штрассена на простоту, він був опублікований в 1977 році, доповнення до нього в 1978 році.
Обґрунтування
Тест Соловея — Штрассена спирається на малу теорему Ферма і властивості символу Якобі:
- Якщо n — непарне складене число, то кількість цілих чисел a, взаємнопростих з n і менших n, що задовольняють порівнянню не перевищує .
Складені числа n, що задовольняють цьому порівнянню називаються псевдопростими Ейлера-Якобі за основою a.
Алгоритм Соловея — Штрассена
Алгоритм Соловея — Штрассена параметризується кількістю ітерацій k. У кожній ітерації випадковим чином вибирається число a < n. Якщо НСД(a,n) > 1, то виноситься рішення, що n - складене. Інакше перевіряється справедливість порівняння . Якщо воно не виконується, то виноситься рішення, що n — складене. Якщо це порівняння виконується, то a є свідком простоти числа n. Далі вибирається інше випадкове a і процедура повторюється. Після знаходження k свідків простоти в k ітераціях виноситься висновок, що n є простим числом з імовірністю .
На псевдокоді алгоритм може бути записаний наступним чином:
Ввід: > 2, непарне натуральне число, що тестується;
, параметр, що визначає точність тесту.
Вивід: складене, означає, що точно складене;
ймовірно просте, означає, що ймовірно є простим.
for i = 1, 2, ..., :
= випадкове ціле від 2 до , включно;
якщо НСД(a, n) > 1, тоді:
вивести, що — складене, і зупинитися.
якщо , тоді:
вивести, що — складене, і зупинитися.
інакше вивести, що — просте зі ймовірністю , і зупинитися.
Приклад застосування алгоритму
Перевіримо число n = 19 на простоту. Виберемо параметр точності k = 2.
k = 1
Виберемо довільне число a = 11; 2 < a < n - 1
Перевіримо умову НСД(a,n)>1
НСД(11,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння
Отримали, що , тому переходимо до наступної ітерації
k = 2
Виберемо довільне число a = 5; 2 < a < n - 1
Перевіримо умову НСД(a,n)>1
НСД(5,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння
і це була остання ітерація, звідси робимо висновок, що 19 - просте число з імовірністю
Обчислювальна складність і точність
- Точність у порівнянні з іншими ймовірнісними тестами на простоту (тут k — число незалежних ітерацій)
назва тесту
|
ймовірність (що число складене)[6]
|
примітки
|
Ферма
|
|
не розпізнає числа Кармайкла як складені
|
Леманна
|
|
Соловея — Штрассена
|
|
- Теоретична складність обчислень всіх наведених у таблиці тестів оцінюється як .
- Алгоритм вимагає операцій над довгими цілими числами.
- При реалізації алгоритму, для зниження обчислювальної складності, числа a вибираються з інтервалу 0 < a < c < n, де c — константа рівна максимально можливому значенню натурального числа, що міститься в одному регістрі процесора.
Застосування
Ймовірнісні тести застосовуються в системах заснованих на проблемі факторизації, наприклад RSA або схема Рабіна. Однак на практиці ступінь достовірності тесту Соловея — Штрассена не є достатньою, замість нього використовується тест Міллера — Рабіна. Більш того, використовуються об'єднані алгоритми, наприклад пробний поділ і тест Міллера — Рабіна, при правильному виборі параметрів можна отримати кращі результати, ніж при застосуванні кожного тесту окремо.
Поліпшення тесту
У 2005 році на Міжнародній конференції Bit+ «Informational Technologies -2005» А. А. Балабанов, А. Ф. Агафонов, В. А. Рику запропонували модернізований тест Соловея — Штрассена. Тест Соловея — Штрассена заснований на обчисленні символу Якобі, що займає час, еквівалентний . Ідея поліпшення полягає в тому, щоб у відповідності з теоремою квадратичного закону взаємності Гаусса, перейти до обчислення величини ,що є оберненою символу Якобі, що є більш простою процедурою.[7].
Див. також
Примітки
Література
- Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М. : Научное издательство ТВП, 2001. — С. 149 - 160. — ISBN 5-94057-103-4.
- Нестеренко А. Введение в современную криптографию. Теоретико-числовые алгоритмы. — 2011. — С. 79 - 90. — ISBN 978-5-94506-320-4.
- Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. — МЦНМО. — М., 2001. — С. 42 - 59. — ISBN 5-94057-060-7.
- Саломаа А. Криптография с открытым ключом / Пер. з англ. І.А. Віхлянцева. — М. : Мир, 1995. — С. 176 - 184. — ISBN 5-03-001991-X.