Тривимірний графік середнього логарифмічного. У математиці , середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел , що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме
M
lm
(
x
,
y
)
=
lim
(
ξ ξ -->
,
η η -->
)
→ → -->
(
x
,
y
)
η η -->
− − -->
ξ ξ -->
ln
-->
η η -->
− − -->
ln
-->
ξ ξ -->
,
=
{
0
x
=
0
∨ ∨ -->
y
=
0
,
x
x
=
y
,
y
− − -->
x
ln
-->
y
− − -->
ln
-->
x
x
≠ ≠ -->
y
∧ ∧ -->
x
,
y
>
0
{\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&x=0\ \lor \ y=0,\\x&x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&x\neq y\ \land x,y>0\end{cases}}\end{array}}}
Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну .
x
⋅ ⋅ -->
y
≤ ≤ -->
M
lm
(
x
,
y
)
≤ ≤ -->
x
+
y
2
for all
x
≥ ≥ -->
0
and
y
≥ ≥ -->
0.
{\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}
Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара .
L
(
x
2
,
y
2
)
L
(
x
,
y
)
=
x
+
y
2
{\displaystyle {\frac {L(x^{2},y^{2})}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}
Середнє арифметичне )
Із теореми Лагранжа
∃ ∃ -->
ξ ξ -->
∈ ∈ -->
(
x
,
y
)
:
f
′
(
ξ ξ -->
)
=
f
(
x
)
− − -->
f
(
y
)
x
− − -->
y
{\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}
середнє логарифмічне є значенням
ξ ξ -->
{\displaystyle \xi }
f
{\displaystyle f}
ln
{\displaystyle \ln }
1
ξ ξ -->
=
ln
-->
x
− − -->
ln
-->
y
x
− − -->
y
{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}
і звідси
ξ ξ -->
=
x
− − -->
y
ln
-->
x
− − -->
ln
-->
y
.
{\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}.}
Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою :
L
(
x
,
y
)
=
∫ ∫ -->
0
1
x
1
− − -->
t
y
t
d
t
{\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}
∫ ∫ -->
0
1
x
1
− − -->
t
y
t
d
t
=
∫ ∫ -->
0
1
(
y
x
)
t
x
d
t
=
x
∫ ∫ -->
0
1
(
y
x
)
t
d
t
=
x
ln
-->
y
x
(
y
x
)
t
|
t
=
0
1
=
x
ln
-->
y
x
(
y
x
− − -->
1
)
=
y
− − -->
x
ln
-->
y
− − -->
ln
-->
x
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}}
Звідси зокрема легко отримати властивість
L
(
c
⋅ ⋅ -->
x
,
c
⋅ ⋅ -->
y
)
=
c
⋅ ⋅ -->
L
(
x
,
y
)
{\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)}
Середнє логарифмічне можна узагальнити на
n
+
1
{\displaystyle n+1}
розділених різниць для логарифма
n
{\displaystyle n}
похідної . Тоді можна ввести
L
M
V
(
x
0
,
… … -->
,
x
n
)
=
(
− − -->
1
)
(
n
+
1
)
⋅ ⋅ -->
n
⋅ ⋅ -->
ln
-->
[
x
0
,
… … -->
,
x
n
]
− − -->
n
{\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}
де
ln
-->
[
x
0
,
… … -->
,
x
n
]
{\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}
Для випадку трьох змінних:
L
M
V
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
− − -->
y
)
⋅ ⋅ -->
(
y
− − -->
z
)
⋅ ⋅ -->
(
z
− − -->
x
)
2
⋅ ⋅ -->
(
(
y
− − -->
z
)
⋅ ⋅ -->
ln
-->
x
+
(
z
− − -->
x
)
⋅ ⋅ -->
ln
-->
y
+
(
x
− − -->
y
)
⋅ ⋅ -->
ln
-->
z
)
{\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}}
Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай
S
{\displaystyle S}
— симплекс
S
=
{
(
α α -->
0
,
… … -->
,
α α -->
n
)
:
α α -->
0
+
⋯ ⋯ -->
+
α α -->
n
=
1
∧ ∧ -->
α α -->
0
≥ ≥ -->
0
∧ ∧ -->
… … -->
∧ ∧ -->
α α -->
n
≥ ≥ -->
0
}
{\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}}
d
α α -->
{\displaystyle \mathrm {d} \alpha }
L
I
(
x
0
,
… … -->
,
x
n
)
=
∫ ∫ -->
S
x
0
α α -->
0
⋅ ⋅ -->
⋯ ⋯ -->
⋅ ⋅ -->
x
n
α α -->
n
d
α α -->
{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }
За допомогою розділених різниць можна записати
L
I
(
x
0
,
… … -->
,
x
n
)
=
n
!
⋅ ⋅ -->
exp
-->
[
ln
-->
x
0
,
… … -->
,
ln
-->
x
n
]
{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}
Для випадку трьох змінних:
L
I
(
x
,
y
,
z
)
=
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
x
⋅ ⋅ -->
(
ln
-->
y
− − -->
ln
-->
z
)
+
y
⋅ ⋅ -->
(
ln
-->
z
− − -->
ln
-->
x
)
+
z
⋅ ⋅ -->
(
ln
-->
x
− − -->
ln
-->
y
)
(
ln
-->
x
− − -->
ln
-->
y
)
⋅ ⋅ -->
(
ln
-->
y
− − -->
ln
-->
z
)
⋅ ⋅ -->
(
ln
-->
z
− − -->
ln
-->
x
)
{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}}
Середнє
Геометрія Теорія ймовірностей Теореми Нерівності
![{\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf2da92bb33e958e99990d0fbfba8401582688b)
![{\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27804c54a474fa8510e222a73dfe384294cebcc)
![{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2444651f6db9ee9128bb9985d009487f82f3a3b)
