Фуксова модель

Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.

Точніше визначення

За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною^[en] або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня ${\displaystyle R}$, яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини ${\displaystyle \mathbb {H} }$ за підгрупою ${\displaystyle \Gamma }$, що діє цілком розривно та вільно.

У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група біголоморфних перетворень^[en] є групою ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$, що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$, така, що ріманова поверхня ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ізоморфна ${\displaystyle R}$. Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм ${\displaystyle R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ — фуксовою моделлю для ${\displaystyle R}$.

Фуксові моделі та простір Тейхмюллера

Нехай ${\displaystyle R}$ — замкнена гіперболічна поверхня і нехай ${\displaystyle \Gamma }$ — фуксова група, така, що ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ є фуксовою моделлю для ${\displaystyle R}$. Нехай

${\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\}}$.

Тут ${\displaystyle A(\Gamma )}$ — множина всіх ${\displaystyle \rho }$ ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»)[1]. У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група ${\displaystyle \Gamma }$ є скінченнопородженою^[en] оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі ${\displaystyle R}$. Нехай ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r}}$ — породжувальна множина, тоді будь-яке ${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$ визначається елементами ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})}$ і можна ототожнити ${\displaystyle A(G)}$ з підмножиною ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}}$ відображенням ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))}$. Тим самим ми задамо топологію підпростору.

Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з теоремою Дена — Нільсена^[en]) тоді стверджує таке[2]:

Для будь-якого подання ${\displaystyle \rho \in A(G)}$ існує автогомеоморфізм (фактично, квазіконформне відображення^[en]) ${\displaystyle h}$ верхньої півплощини ${\displaystyle \mathbb {H} }$, таке, що ${\displaystyle h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )}$ для будь-кого ${\displaystyle \gamma \in G}$.

Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм ${\displaystyle R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H} }$ і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки ${\displaystyle R}$ компактна.

Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера ${\displaystyle R}$[1] — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи ${\displaystyle \pi _{1}(R)}$[3] у класи суміжності ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ і множини відмічених ріманових поверхонь ${\displaystyle (X,f)}$, де ${\displaystyle f\colon R\to X}$ — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.

Див. також

• Модель Кляйна, аналогічна побудова для 3D-многовидів
• Фундаментальний многокутник^[en]

Примітки

1. Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.
2. Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.
3. Множину гомотопічних класів петель із добутком петель із точки ${\displaystyle x_{0}}$ простору ${\displaystyle X}$ називають фундаментальною групою з відміченою точкою ${\displaystyle x_{0}}$ і позначають ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. Якщо ${\displaystyle X}$ — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки і для таких просторів можна писати ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ замість ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. Див. Фундаментальна група

Література

• Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. — Oxford university press, 1998. — ISBN 0-19-850062-9.