Фробеніусова нормальна форма

Фробеніусовою нормальною формою лінійного оператора називається блочно-діагональна матриця, що складається з фробеніусових комірок виду

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

і є матрицею даного лінійного оператора в деякому базисі.

Названа на честь німецького математика Фердинанда Георга Фробеніуса.

Властивості

Коефіцієнтами характеристичного многочлена фробеніусової комірки є ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle a_{n-1}}$ з приведеної вище матриці, і многочлен має вигляд ${\displaystyle x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0}}$.

Див. також

• Супутня матриця
• Жорданова нормальна форма

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)