Формула Стірлінга

Відношення (ln n!) до (n ln n − n) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1.

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}}=1}$

або

${\displaystyle n!\approx n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n\to \infty )}$

Збіжність та похибки

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для ${\displaystyle \Gamma (z)}$ та ${\displaystyle n!}$:

${\displaystyle \Gamma (z)=e^{-z}z^{z-1/2}{\sqrt {2\pi }}{\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over {288z^{2}}}-{139 \over {51840z^{3}}}-{571 \over {2488320z^{4}}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle ({\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}}<\pi )}$ (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень ${\displaystyle {\begin{vmatrix}z\end{vmatrix}}}$: для дійсних додатних z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифма від n!:

${\displaystyle \log n!=n\log n-n+{1 \over 2}\log(2\pi n)+{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }$

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів або гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формули

${\displaystyle n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}<n!<n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}}}$

та

${\displaystyle n!\approx n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}-{1 \over {360n^{2}}}+...}}$

при ${\displaystyle n\to \infty }$

Доведення

Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму

${\displaystyle \ln n!=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$

до інтегралу

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$

Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення n!, розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється

${\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$

Від правої частини рівняння віднімаємо

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n,}$

і наближуємо методом трапецій інтеграл

${\displaystyle \ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$

Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}$

де B_k — числа Бернуллі та R_m,n — залишковий член у формулі Ейлера—Маклорена. Перейдемо до границі

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$

Позначимо цю границю як y. Оскільки залишок R_m,n у формулі Ейлера—Маклорена задовольняє

${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$

де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі

${\displaystyle \ln n!=n\ln \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$

Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне m,отримуємо формулу з невідомою величиною \mathrm{e}^y. Для m = 1 формула набуває вигляду

${\displaystyle n!=\mathrm {e} ^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Величина ${\displaystyle \mathrm {e} ^{y}}$ може бути знайдена, якщо в обох сторонах перейти до границі при ${\displaystyle (n\to \infty )}$ та застосувавши формулу Валліса, яка показує, що ${\displaystyle \mathrm {e} ^{y}={\sqrt {2\pi }}}$. Таким чином, отримаємо формулу Стірлінґа

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Історія

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

${\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}}$

Стірлінґ встановив що константа дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)