Унітарна матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle \ U}$ з комплексними елементами називається унітарною, якщо

${\displaystyle \ U^{*}U=UU^{*}=I}$

де

${\displaystyle \ U^{*}}$ — ермітово-спряжена матриця до матриці ${\displaystyle \ U}$

${\displaystyle \ I}$ — одинична матриця.

Унітарні матриці є частковим випадком нормальних матриць.

Унітарна матриця з дійсними елементами є ортогональною матрицею.

Властивості

• ${\displaystyle \ U^{-1}=U^{*}.}$
• ${\displaystyle \ U^{*}}$ також є унітарною.
• Добуток унітарних матриць є унітарною матрицею.
• ${\displaystyle \ |\det {(U)}|=1.}$
• Всі власні значення ${\displaystyle \ U}$ по модулю рівні 1.
• Унітарні матриці рангу n із визначником рівним 1 утворюють спеціальну унітарну групу SU(n).
• Унітарна матриця зберігає довжину вектора ${\displaystyle \ |Ux|=|x|.}$

Дивись також

• Теорія матриць
• Унітарний оператор
• Полярний розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)