Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема

Нехай ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ — квадратна матриця розміру ${\displaystyle \ n\times n,}$ в якій вибрано довільні ${\displaystyle \ k}$ рядків.

Тоді визначник матриці ${\displaystyle \ A}$ рівний сумі всіляких добутків мінорів ${\displaystyle \ k}$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

${\displaystyle \det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},}$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців ${\displaystyle \ j_{1},\ldots ,j_{k}.}$

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати ${\displaystyle k}$ стовпців з ${\displaystyle n}$, тобто біноміальному коефіцієнту ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ — квадратна матриця розміру ${\displaystyle n\times n}$. Нехай також заданий деякий номер її рядка ${\displaystyle \ i}$ або номер її стовпця ${\displaystyle \ j.}$ При ${\displaystyle \ k=1}$ мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник ${\displaystyle \ A}$ може бути обчислений за формулами:

Розклад по ${\displaystyle i}$-му рядку:

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}$

Розклад по ${\displaystyle j}$-му стовпцю:

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}$

де ${\displaystyle \ A_{ij}}$ — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером ${\displaystyle \ i}$ та стовпці з номером ${\displaystyle \ j}$.

Фальшивий розклад

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

${\displaystyle i\neq k\quad \Rightarrow \quad \sum _{j=1}^{n}a_{kj}A_{ij}=0}$

${\displaystyle j\neq k\quad \Rightarrow \quad \sum _{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}=0}$

Приклади

Розглянемо матрицю:

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&9&10\end{bmatrix}}.}$

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

${\displaystyle |B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\9&10\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&10\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&9\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {}=1\cdot (-4)-2\cdot (-2)+3\cdot 1=3.}$

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

${\displaystyle |B|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&10\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&10\end{vmatrix}}-9\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {}=-2\cdot (-2)+5\cdot (-11)-9\cdot (-6)=3.}$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь П'єра-Симона Лапласа

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)