Теорема Круля

Теорема Круля в абстрактній алгебрі стверджує існування максимального ідеалу в довільному кільці з одиницею. Теорема названа на честь німецького математика Вольфганга Круля, що довів її у 1926 році[1]. У 1978 році Вілфрід Ходжес довів, що з теореми Круля випливає лема Цорна.[2]. Відповідно твердження теореми еквівалентно аксіомі вибору.

Твердження

Нехай R — нетривіальне кільце з одиницею. Тоді для довільного ідеалу ${\displaystyle I\subset R}$ існує максимальний ідеал J, такий що ${\displaystyle I\subset J.}$ Зокрема якщо взяти ідеал ${\displaystyle \{0\}}$ то звідси випливає існування максимального ідеалу для довільного кільця з одиницею.

Доведення

Нехай S — множина власних ідеалів R, що містять I. Множина S є непорожньою, оскільки I є елементом S. S є частково впорядкованою множиною щодо включення підмножин. Для довільної лінійно впорядкованої підмножини T елементів S, об'єднання ідеалів з T є також ідеалом . Цей ідеал є власним (оскільки 1 не належить жодному власному ідеалу з S і, відповідно з T). Тому згідно з лемою Цорна у множині S є максимальний елемент, що і буде максимальним ідеалом, що містить I.

Див. також

• Максимальний ідеал

Примітки

1. W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744
2. Wilfrid Hodges (1978), Krull Implies Zorn, Journal London Mathematical Society, Volume s2-19, 2, pp 285–287

Посилання

• Robert B. Ash Abstract Algebra: The Basic Graduate Year Chapter 2 Ring Fundamentals
• Henry E. Heatherly (2004), Some ring theoretic equivalents to the axiom of choice, LA/MS Math. Assoc. Amer. Conf. Proc. (electronic).