Теорема Гаусса
Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить у систему рівнянь Максвелла. У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:
де D — вектор електричної індукції, — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S: де — густина заряду. У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється
де — напруженість електричного поля. Теорема Гаусса і закон КулонаТеорему Гаусса отримав у 1835 році Карл Фрідріх Гаусс, який виходив із закону Кулона. У сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок. Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса. Виведення закону КулонаЩоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд у вакуумі. На поверхні сфери радіусом , у центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції дорівнює напруженості електричного поля (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:
Звідси основне твердження закону Кулона: У системі ISQ , де — електрична стала. Теорема Гаусса записується:
Звідси:
Теорема Гаусса в диференціальній форміТеорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського — Гаусса (система СГС):
Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:
У системі ISQ цей вираз має вигляд: Теорема Гаусса для полів у середовищіТеорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:
якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується. Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, заряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:
де — густина зв'язаних зарядів, — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: . Тоді теорема Гаусса записується у вигляді
Вводячи вектор електричної індукції
отримуємо теорему Гаусса для діелектричних середовищ:
або в диференціальній формі
Магнітне полеМагнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю: Див. такожДжерела
|