Потенціал Ліенара — Віхерта

Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією. Названі на честь Альфред-Марі Ліенара та Еміля Віхерта.

При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу ${\displaystyle t^{\prime }}$. ${\displaystyle t-t^{\prime }}$ — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.

${\displaystyle t-t^{\prime }={\frac {R(t^{\prime })}{c}}}$,

де ${\displaystyle R(t^{\prime })}$ — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу ${\displaystyle t^{\prime }}$, c — швидкість світла в порожнечі.

Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами [1]

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{R-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{c}}}},\qquad \mathbf {A} ={\frac {q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{c}}\right)}},}$

де ${\displaystyle \varphi }$ — потенціал електричного поля, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторний потенціал, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу ${\displaystyle t^{\prime }}$.

Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.

Отримання виразів для потенціалів

Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать. Інтегральні вирази для потенціалів (розв'язки рівняння д'Аламбера) враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

${\displaystyle \ \varphi ={\frac {Q}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}},\quad \mathbf {A} ={\frac {Q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}\qquad (.1)}$,

де ${\displaystyle \ \mathbf {R} =\mathbf {R} (T)=\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T),\quad T:t-\tau -{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}=0}$.

Доведення.

Нехай, наприклад, розглядається інтеграл для ${\displaystyle \ \varphi }$:

${\displaystyle \ \varphi (\mathbf {x} ,T)=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}})d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}=\int \int {\frac {\rho (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)d\tau =\int \int {\frac {Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {x} _{0}(\tau ))d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau =}$

${\displaystyle \ =\int {\frac {Q\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}}=\int {\frac {Q\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {R} (\tau )|}}}$.

Використовуючи властивість дельта-функції від складного аргументу (доведення диф. у розділі "Додаткові матеріали"),

${\displaystyle \ \delta (f(\tau ))={\frac {\delta (\tau -T)}{\left|{\frac {\partial f(\tau )}{\partial \tau }}\right|_{\tau =T}}}}$,

де ${\displaystyle \ T}$ - розв'язок рівняння ${\displaystyle \ f(\tau )=0,}$, можна, користуючись

${\displaystyle \ {\frac {d|R(\tau )|}{d\tau }}={\frac {d{\sqrt {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )}}}{d\tau }}={\frac {1}{2|\mathbf {R} |}}2\left({\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}\cdot \mathbf {R} \right)=-{\frac {(\mathbf {v} (\tau )\cdot \mathbf {R} (\tau ))}{R(\tau )}}}$,

отримати:

${\displaystyle \ f(\tau )=\tau -t+{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}},\quad {\frac {df(\tau )}{d\tau }}={\frac {d}{d\tau }}\left(\tau -t+{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}\right)={\frac {R(\tau )-{\frac {(\mathbf {v} (\tau )\cdot \mathbf {R} (\tau ))}{c}}}{R(\tau )}}}$.

Отже, сам інтеграл набуде вигляду

${\displaystyle \ \varphi =\int {\frac {Q\delta (\tau -T)Rd\tau }{R\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}={\frac {Q}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}}$.

Зовсім аналогічно - і в випадку з виразом для векторного потенціалу:

${\displaystyle \ \mathbf {A} ={\frac {Q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}}$.

${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Отримані вирази для потенціалів можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля у випадку заряду, що довільно рухається.

Напруженості полів

Для напруженості електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ й вектора магнітної індукції ${\displaystyle \mathbf {B} }$ потенціали Ліенара-Віхерта дають

${\displaystyle E=q{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{\left(R-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{c}}\right)^{3}}}\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R\right)+{\frac {q}{c^{2}\left(R-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{c}}\right)^{3}}}\left[\mathbf {R} ,\left[\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R,{\dot {\mathbf {v} }}\right]\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{R}}[\mathbf {R} ,\mathbf {E} ]}$

Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й магнітне поле завжди перпендикулярні одне до іншого.

Отримання виразів для полів

Для подальших викладок знадобиться вираз

${\displaystyle \ \gamma \left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)={\sqrt {X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {X} \cdot \mathbf {v} )^{2}}}\qquad (.2)}$.

Доведення.

${\displaystyle \ \gamma ^{2}\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}=\gamma ^{2}R^{2}-2\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}R+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )^{2}}{c^{2}}}=_{right}=X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}=\left|\mathbf {X} =\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\right|=}$

${\displaystyle \ =R^{2}-2{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}R+{\frac {v^{2}R^{2}}{c^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left((\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )-{\frac {v^{2}R}{c}}\right)^{2}=}$

${\displaystyle \ =R^{2}-2{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}R+{\frac {v^{2}R^{2}}{c^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )^{2}-2{\frac {\gamma ^{2}}{c^{3}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )v^{2}R+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{4}}}v^{4}R^{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle \ \Rightarrow \left|R^{2}+{\frac {R^{2}v^{2}}{c^{2}}}+\gamma ^{2}{\frac {v^{4}R^{2}}{c^{4}}}=R^{2}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}\right)\right)=R^{2}\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=R^{2}\gamma ^{2}\right|\Rightarrow }$

${\displaystyle \ \Rightarrow -2{\frac {\gamma ^{2}}{c}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )R=-2{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}R-2{\frac {\gamma ^{2}}{c^{3}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )v^{2}R\Rightarrow -2{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}R\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=-2\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}R\Rightarrow 0=0}$.

Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. Як відомо, вираз для напруженості електричного поля через компоненти 4-потенціалу рівний

${\displaystyle \ \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad (.3)}$.

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних ${\displaystyle \ t,\mathbf {x} }$ до змінної ${\displaystyle \ T}$, оскільки самі потенціали (а точніше - ${\displaystyle \ \mathbf {v} ,\mathbf {R} }$) залежать від ${\displaystyle \ T}$:

${\displaystyle \ {\frac {\partial t}{\partial T}}={\frac {R}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}},\quad {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }}=-{\frac {\mathbf {R} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}\qquad (.4)}$.

Доведення.

${\displaystyle \ t=T+{\frac {\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}{c}}\Rightarrow dT=dt-d{\frac {\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}{c}}}$.

Далі — треба здійснити перехід від змінної ${\displaystyle \ t}$ до двох змінних ${\displaystyle \ T,\mathbf {x} }$. Враховуючи, що

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}=2R{\frac {\mathbf {R} }{R}}=2\mathbf {R} ,\quad {\frac {\partial }{\partial T}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}=-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}$,

можна записати:

${\displaystyle \ dt=dT+{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}{\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}d\mathbf {x} +{\frac {\partial }{\partial T}}{\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}dT\right)=dT+{\frac {1}{c}}\left({\frac {(\mathbf {R} \cdot d\mathbf {x} )-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )dT}{R}}\right)\Rightarrow dT={\frac {Rdt-{\frac {(\mathbf {R} \cdot d\mathbf {x} )}{c}}}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}}$.

Звідси очевидно, що

${\displaystyle \ {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {R}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}},\quad {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }}=-{\frac {\mathbf {R} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}}$.

Тоді для напруженості поля ${\displaystyle \ \mathbf {E} }$ можна отримати

${\displaystyle \ \mathbf {E} ={\frac {Q\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R\right)\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)^{3}}}+{\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left[\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R\right)\times \mathbf {a} \right]\right]}{\left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)^{3}}}}$,

або, з урахуванням виразу ${\displaystyle \ (.2)}$ і введеного вектора ${\displaystyle \ \mathbf {X} =\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R}$,

${\displaystyle \ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {X} }{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {\gamma ^{3}[\mathbf {R} \times [\mathbf {X} \times \mathbf {a} ]]}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Доведення.

Користуючись ${\displaystyle \ (.1)-(.4)}$, можна записати:

${\displaystyle \ \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial \varphi }{\partial T}}{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {x} }}\right)=Q\left[{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left({\frac {1}{{\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))^{2}}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T))}}\right)-\left({\frac {\mathbf {R} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}\left(-{\frac {-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{R}}-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )}{c}}+{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c}}}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}\right)\right)\right]=}$

${\displaystyle \ =Q\left[-{\frac {{\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\mathbf {R} \left(-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{R}}-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )}{c}}+{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c}}\right)}{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}\right]=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {Q}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}\left[\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {R} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{cR}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}R+{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )+{\frac {\mathbf {R} }{c}}{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{R}}-{\frac {\mathbf {R} v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {\mathbf {R} }{c^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )\right]=|(.2)|=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {Q\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {X} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R+{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )-{\frac {\mathbf {R} \mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}+{\frac {\mathbf {R} }{c^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )\right]}$.

Аналогічно, для ${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ можна отримати, що

${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial T}}{\frac {\partial t}{\partial T}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {QR}{R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)}}\right)=}$

${\displaystyle \ ={\frac {QR}{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}\left[{\frac {\mathbf {a} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}-\left(\mathbf {v} {\frac {-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{R}}-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )}{c}}+{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}{\left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)^{2}}}\right)\right]=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {RQ}{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {a} R+\mathbf {a} {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}-\mathbf {v} {\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{cR}}-{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )+\mathbf {v} {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]=|(.2)|=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {Q\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[-\mathbf {a} {\frac {R^{2}}{c}}+\mathbf {a} R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c^{2}}}-\mathbf {v} {\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\mathbf {v} {\frac {R(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )}{c^{2}}}+\mathbf {v} {\frac {R\mathbf {v} ^{2}}{c^{3}}}\right]}$.

Тоді ${\displaystyle \ \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ рівна

${\displaystyle \ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}R+{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )-{\frac {\mathbf {R} \mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}+{\frac {\mathbf {R} }{c^{2}}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )\right]+}$

${\displaystyle \ +{\frac {Q\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[-\mathbf {a} {\frac {R^{2}}{c}}+\mathbf {a} R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c^{2}}}-\mathbf {v} {\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\mathbf {v} {\frac {R(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )}{c^{2}}}+\mathbf {v} {\frac {R\mathbf {v} ^{2}}{c^{3}}}\right]=}$

${\displaystyle \ ={\frac {Q\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[-{\frac {\mathbf {a} }{c}}\left((\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )R}{c}}\right)+{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} )}{c}}\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\right)+\mathbf {R} \left(1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\left({\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}-1\right)\right]=}$

${\displaystyle \ {\frac {Q\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\right)\gamma ^{3}}{\gamma ^{2}\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Q\left[\mathbf {R} \times \left[\left(\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\right)\times {\frac {\mathbf {a} }{c}}\right]\right]\gamma ^{3}}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=\left|\mathbf {X} =\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {v} R}{c}}\right|={\frac {Q\gamma \mathbf {X} }{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {1}{c}}{\frac {Q\gamma ^{3}[\mathbf {R} \times [\mathbf {X} \times \mathbf {a} ]]}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Вираз для індукції поля можна отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що, можливо (!), значно спростить викладки.

При введенні фіктивного інтегрування по змінній ${\displaystyle \ \tau }$ (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд

${\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {R} ,T)={\frac {1}{c}}\int {\frac {Q\mathbf {v} (\tau )\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {z} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}}}$.

Тоді для ${\displaystyle \ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]}$ можна отримати

${\displaystyle \ \mathbf {B} =Q{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}+{\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}=\left[{\frac {\mathbf {R} }{R}}\times \mathbf {E} \right]}$,

або, з урахуванням виразу ${\displaystyle \ (.2)}$,

${\displaystyle \ \mathbf {B} =Q\gamma {\frac {\left[{\frac {\mathbf {R} }{R}}\times \mathbf {X} \right]}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Q\gamma ^{3}}{c^{2}}}{\frac {\left[{\frac {\mathbf {R} }{R}}\times \left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {X} \times \mathbf {a} \right]\right]\right]}{\left(X^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {X} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Доведення.

${\displaystyle \ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]={\frac {Q}{c}}\left[\nabla \times \int {\frac {\mathbf {v} (\tau )\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}}\right]=}$

${\displaystyle \ ={\frac {Q}{c}}\int \left[\left(-{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|^{3}}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)+{\frac {\nabla \left(\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)\right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}}\right)\times \mathbf {v} (\tau )\right]d\tau }$.

Виходячи з виразу для інтегралу від виразу з дельта-функцією від складного аргументу,

${\displaystyle \ \delta (f(\tau ))={\frac {\delta (\tau -T)}{\left|{\frac {\partial f(\tau )}{\partial \tau }}\right|_{\tau =T}}}}$,

інтеграл від першого доданку рівний, при введенні вектора ${\displaystyle \ \mathbf {R} (\tau )=\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )}$,

${\displaystyle \ {\frac {Q}{c}}\int {\frac {[\mathbf {v} (\tau )\times \mathbf {R} (\tau )]}{R^{3}(\tau )}}\delta \left(t-\tau -{\frac {R(\tau )}{c}}\right)d\tau ={\frac {Q}{c}}\int {\frac {[\mathbf {v} (\tau )\times \mathbf {R} (\tau )]}{R^{3}(\tau )}}{\frac {\delta (\tau -T)}{1-{\frac {(\mathbf {v} (\tau )\cdot \mathbf {R} (\tau ))}{cR(\tau )}}}}d\tau =-{\frac {Q}{c}}{\frac {[\mathbf {R} (T)\times \mathbf {v} (T)]}{R^{2}(\tau )\left(R(T)-{\frac {(\mathbf {v} (T)\cdot \mathbf {R} (T))}{c}}\right)}}}$

(надалі перехід від залежності від ${\displaystyle \ \tau }$ до інтегрування до залежності від ${\displaystyle \ T}$ після інтегрування буде вважатися очевидним).

Для визначення виразу для другого доданку треба переписати градієнт від дельта-функції: для

${\displaystyle \ f(\tau )=t-\tau -{\frac {R(\tau )}{c}}}$

він рівен

${\displaystyle \ \nabla \delta (f(\tau ))={\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\delta (f(\tau ))={\frac {\partial f(\tau )}{\partial \mathbf {x} }}{\frac {\partial \tau }{\partial f(\tau )}}{\frac {\partial \delta (f(\tau ))}{\partial \tau }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathbf {R} }{\mathbf {R} }}{\frac {1}{1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{cR}}}}\partial _{\tau }\delta (f(\tau ))=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathbf {R} }{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}\partial _{\tau }\delta (f(\tau ))}$.

Тому інтеграл від другого доданку за допомогою інтегрування по частинам можна записати як

${\displaystyle \ -{\frac {Q}{c^{2}}}\int {\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]}{R^{2}-R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}\partial _{\tau }\delta (f(\tau ))d\tau =-{\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}\delta (f(\tau )){\bigg |}_{-\infty }^{\infty }+}$

${\displaystyle \ +{\frac {Q}{c^{2}}}\int \partial _{t}\left({\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]}{R^{2}-R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}\right)\delta (f(\tau ))d\tau =\left|\delta (f(\tau )){\bigg |}_{-\infty }^{\infty }=0\right|=}$

${\displaystyle \ =-{\frac {Q}{c^{2}}}\int \left({\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {a} ]}{R^{2}-R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}-{\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]\left(-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )+{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c}}+{\frac {R\mathbf {v} ^{2}}{c}}-{\frac {R(\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} )}{c}}\right)}{\left(R^{2}-R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}\right)\delta (f(\tau ))d\tau }$.

Для початку, можна звести всі підінтегральні доданки, у яких фігурує прискорення ${\displaystyle \ \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}}$:

${\displaystyle \ {\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {a} ]\left(|\mathbf {R} |-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)+[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} )}{c}}}{R\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}}$.

Можна показати, що чисельник цього виразу, з мінусом, відповідає векторному добутку ${\displaystyle \ \left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]}$.

Дійсно,

${\displaystyle \ \left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]=\left[\mathbf {R} \times \left(\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)(\mathbf {a} \cdot \mathbf {R} )-\mathbf {a} \left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)\right)\right]=-[\mathbf {R} \times \mathbf {a} ]\left(R-{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )}{c}}\right)-[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} )}{c}}}$.

Інтеграл від цього виразу (із використанням властивості інтегралу від дельта-функції складного аргументу та врахуванням знаку мінус перед інтегралом) буде рівен

${\displaystyle \ {\frac {Q}{c^{2}}}\int {\frac {\left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]}{R\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}\delta (f(\tau ))d\tau ={\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}}$.

Інтеграл від тих доданків, що залишилися, рівен

${\displaystyle \ {\frac {Q}{c^{2}}}\int \left({\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]\left(-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )+{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c}}+{\frac {Rv^{2}}{c}}\right)}{\left(R^{2}-R{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{2}}}\right)\delta (f(\tau ))d\tau ={\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]\left(-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )+{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} )^{2}}{c}}+{\frac {Rv^{2}}{c}}\right)}{R\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}}$

Згрупувавши цей вираз із найпершим доданком, можна отримати

${\displaystyle \ {\frac {Q}{c}}{\frac {[\mathbf {R} \times \mathbf {v} ]\left(-\mathbf {R} ^{2}+2{\frac {R(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )R}{c}}+{\frac {R^{2}v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )^{2}}{c^{2}}}\right)}{R^{2}\left(|R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}=-Q{\frac {\left[\mathbf {R} \times {\frac {\mathbf {v} }{c}}\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(|R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}=Q{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(|R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}}$.

Остаточно, індукція поля рівна

${\displaystyle \ \mathbf {B} =Q{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(|R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}+{\frac {Q}{c^{2}}}{\frac {\left[\mathbf {R} \times \left[\mathbf {R} \times \left[\left({\frac {\mathbf {R} }{R}}-{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)\times \mathbf {a} \right]\right]\right]}{\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)^{3}}}}$.${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$${\displaystyle \ }$

Джерела

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. (рос.)

Примітки

1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.