Тензорний скетч

Тензорний скетч (англ. tensor sketch) — метод зменшення розмірності, що використовується у статистиці, машинному навчанні та алгоритмах обробки великих даних[1][2]. Він особливо ефективний стосовно векторів з тензорною структурою. Тензорний скетч може бути використаний для прискорення білінійного поєднання в нейронних мережах і застосовується у багатьох алгоритмах чисельної лінійної алгебри[3].

Історія

Термін тензорний скетч (ескіз) був придуманий у 2013 році[4] й описаний як метод того ж року Расмусом Пегом[5].

Спочатку відповідний метод спирався на використання швидкого перетворення Фур'є, щоб зробити швидку згортку. Пізніші науково-дослідні роботи узагальнили його до значно більшого класу методів зменшення розмірності за допомогою випадкових тензорних проєкцій.

Тензорні проєкції

В основі одного з ефективних варіантів тензорного скетча лежить використання торцевого добутку матриць, запропонованого Слюсарем В. І.[6] в 1996 р. (англ. face-splitting product)[7][8][9][10][11].

Торцевий добуток двох матриць з однаковою кількістю рядків ${\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{3\times 2}}$ та ${\displaystyle \mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{3\times 2}}$ позначається ${\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} }$[7][8][9][12] і має вид: ${\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c c c c}\mathbf {C} _{1,1}\mathbf {D} _{1,1}&\mathbf {C} _{1,1}\mathbf {D} _{1,2}&\mathbf {C} _{1,2}\mathbf {D} _{1,1}&\mathbf {C} _{1,2}\mathbf {D} _{1,2}&\mathbf {C} _{1,3}\mathbf {D} _{1,1}&\mathbf {C} _{1,3}\mathbf {D} _{1,2}\\\mathbf {C} _{2,1}\mathbf {D} _{2,1}&\mathbf {C} _{2,1}\mathbf {D} _{2,2}&\mathbf {C} _{2,2}\mathbf {D} _{2,1}&\mathbf {C} _{2,2}\mathbf {D} _{2,2}&\mathbf {C} _{2,3}\mathbf {D} _{2,1}&\mathbf {C} _{2,3}\mathbf {D} _{2,2}\\\mathbf {C} _{3,1}\mathbf {D} _{3,1}&\mathbf {C} _{3,1}\mathbf {D} _{3,2}&\mathbf {C} _{3,2}\mathbf {D} _{3,1}&\mathbf {C} _{3,2}\mathbf {D} _{3,2}&\mathbf {C} _{3,3}\mathbf {D} _{3,1}&\mathbf {C} _{3,3}\mathbf {D} _{3,2}\end{array}}\right].}$

Тензорний скетч може використовуватися для зменшення кількості змінних, необхідних для реалізації білінійного пулінгу в нейронній мережі

Доцільність використання цього добутку полягає у його властивості:

${\displaystyle (\mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(x\otimes y)=\mathbf {C} x\circ \mathbf {D} y=\left[{\begin{array}{c }(\mathbf {C} x)_{1}(\mathbf {D} y)_{1}\\(\mathbf {C} x)_{2}(\mathbf {D} y)_{2}\\\vdots \end{array}}\right],}$

де ${\displaystyle \circ }$ — поелементний добуток Адамара.

На цій основі довільний тензорний скетч виду ${\displaystyle \mathbf {M} (y\otimes z)}$ можливо подати як ${\displaystyle \mathbf {M'} y\circ \mathbf {M''} z}$, де матриці ${\displaystyle \mathbf {M'} }$ та ${\displaystyle \mathbf {M''} }$ мають менший розмір, і ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M'} \bullet \mathbf {M''} }$. Оскільки операції матрично-векторних добутків ${\displaystyle \mathbf {M'} y}$ і ${\displaystyle \mathbf {M''} z}$ обчислюються за лінійним часом ${\displaystyle kd_{1}}$ та ${\displaystyle kd_{2}}$ відповідно, перехід до представлення ${\displaystyle \mathbf {M'} \bullet \mathbf {M''} }$ дозволяє виконати множення на вектори тензорної структури набагато швидше, чим формується вихідний вираз ${\displaystyle \mathbf {M} (y\otimes z)}$, а саме за час ${\displaystyle kd=kd_{1}d_{2}}$.

Для тензорів більш високого порядку, наприклад, ${\displaystyle x=y\otimes z\otimes t}$, економія буде ще більш значною.

Подібне перетворення задовольняє лемі Джонсона-Лінденштрауса про малі викривлення вихідних даних великої розмірності.

Див. також

• Лема Джонсона-Лінденштрауса
• Торцевий добуток
• Відліковий скетч

Примітки

1. Low-rank Tucker decomposition of large tensors using: Tensor Sketch (PDF). amath.colorado.edu. Boulder, Colorado: University of Colorado Boulder. Архів оригіналу (PDF) за 14 лютого 2019. Процитовано 30 липня 2020. [Архівовано 2019-02-14 у Wayback Machine.]
2. Ahle, Thomas; Knudsen, Jakob (3 вересня 2019). Almost Optimal Tensor Sketch. Researchgate. Процитовано 11 липня 2020.
3. Woodruff, David P. «Sketching as a Tool for Numerical Linear Algebra.» Theoretical Computer Science 10.1-2 (2014): 1–157.
4. Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.
5. Rasmus, Pagh (2013). Compressed matrix multiplication. ACM Transactions on Computation Theory, August 2013 Article No.: 9. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2493252.2493254.
6. Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1]
7. Slyusar, V. I. (27 грудня 1996). End products in matrices in radar applications (PDF). Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53.
8. Slyusar, V. I. Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products : [англ.] // Proc. ICATT- 97, Kyiv : journal. — 1997. — 20 травня. — С. 108—109.
9. Slyusar, V. I. A Family of Face Products of Matrices and its Properties : [англ.] // Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz : journal. — 1999. — Vol. 35, № 3. — С. 379—384. — DOI:10.1007/BF02733426.
10. Slyusar, V. I. Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels : [англ.] // Radioelectronics and Communications Systems : journal. — 2003. — Vol. 46, № 10. — С. 9—17.
11. Миночкин А.И., Рудаков В.И., Слюсар В.И. (2012). Основы военно-технических исследований. Теория и приложения. Том. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники//Под ред. А.П. Ковтуненко. - Киев: «Гранмна». – 2012 (PDF). с. C. 7 - 98, 354—521.
12. Slyusar, V. I. (15 вересня 1997). New operations of matrices product for applications of radars (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74.