Структура Годжа

Структура Годжа ваги ${\displaystyle n}$, або чиста структура Годжа — об'єкт, що складається з ґратки ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ у дійсному векторному просторі ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R} }$ і розкладання ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}}$, де ${\displaystyle n=p+q}$, комплексного векторного простору ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C} }$, що називається розкладанням Годжа. При цьому повинна виконуватися умова ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}=H^{q,\;p}}$, де ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}}$ — комплексне спряження в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Інакше, розкладання Годжа можна описати, використовуючи поняття убиваючої фільтрації, або фільтрації Годжа, ${\displaystyle F^{r}=\bigoplus _{p\geqslant r}H^{p,\;q}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ такої, що ${\displaystyle {\bar {F}}^{s}\cap F^{r}=0}$ при ${\displaystyle r+s\neq n}$. Тоді підпростори ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ відновлюються за формулою ${\displaystyle H^{p,\;q}={\bar {F}}^{p}\cap F^{q}}$.

Цю структуру в просторі ${\displaystyle n}$-вимірних когомологій ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ компактного келерового многовиду ${\displaystyle X}$ уперше дослідив Вільям Годж[1].

В цьому випадку підпростори ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ описуються як простори гармонічних форм типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ або як когомології ${\displaystyle H^{q}(X,\;\Omega ^{p})}$ пучків ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ голоморфних диференціальних форм[2].

Фільтрація Годжа в ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ виникає з фільтрації комплексу пучків ${\displaystyle \Omega =\sum _{p\geqslant 0}\Omega ^{p}}$, ${\displaystyle n}$-вимірні гіперкогомології якого ізоморфні ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$, підкомплексами виду ${\displaystyle \sum _{r\geqslant p}\Omega ^{r}}$.

Примітки

1. Hodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
2. Гриффитс, Ф., Харрис, Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ. — М. : Мир, 1982. — Т. 1. — 518 с.