Спряжені точки

В рімановій геометрії поняття спря́жених точок відіграє важливу роль у вивченні мінімізуючих властивостей геодезичних ліній.

Визначення

Спряжений дотичний вектор

Нехай M — ріманів многовид, ${\displaystyle p\in M}$ і ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ — дотичний вектор у заданій точці. Вектор X називається спряженим, якщо експоненційне відображення ${\displaystyle \exp _{p}X}$ є виродженим (тобто його матриця Якобі в довільних локальних координатах є необоротною).

Спряжені точки на геодезичній лінії

Нехай точки ${\displaystyle p,q\in M}$ належать деякій спільній геодезичній лінії ${\displaystyle \gamma (t).}$ Тоді точка q називається спряженою до точки p, якщо існує такий спряжений вектор ${\displaystyle X\in T_{p}M,}$ що ${\displaystyle q=\exp _{p}X}$ і при тому крива ${\displaystyle \exp _{p}tX}$ є репараметризацією кривої ${\displaystyle \gamma (t).}$

Еквівалентно точки ${\displaystyle p,q\in M}$ називаються спряженими відносно геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma (t),}$ якщо існує ненульове поле Якобі вздовж ${\displaystyle \gamma (t),}$ що приймає нульові значення в точках ${\displaystyle p,q.}$

Звідси очевидно, що якщо точка q є спряженою до точки p то і точка p є спряженою до точки q.

Зв'язок з однопараметричною сім'єю геодезичних

Нехай ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t),}$ де ${\displaystyle t\in [0,1],\;\tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ — однопараметрична сім'я геодезичних ліній і до того ж ${\displaystyle \gamma _{\tau }(0)=p}$ і ${\displaystyle \gamma _{\tau }(1)=q}$ для всіх ${\displaystyle \tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon ).}$ Якщо поле Якобі для цієї сім'ї є ненульовим, то p і q є спряженими щодо ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma _{0}(t).}$

Проте не всі поля Якобі з нульовими значеннями в точках p і q можна отримати в такий спосіб. Власне для будь-якого такого поля можна вибрати таку однопараметричну сім'ю геодезичних ліній, що ${\displaystyle \gamma _{\tau }(0)=p}$ але рівність ${\displaystyle \gamma _{\tau }(1)=q}$ не обов'язково виконуватиметься попри те, що значення поля Якобі в точці q рівне нулю. В цьому випадку кажуть, що рівність справджується з точністю до величин першого порядку.

Таким чином спряжену точку до точки p можна умовно охарактеризувати, як точку в якій майже перетинаються елементи однопараметричної сім'ї геодезичних ліній, що починаються в точці p.

Мінімізуючі властивості геодезичних ліній

Нехай ${\displaystyle \gamma (t),\;t\in [a,b]}$ — геодезична лінія без перетинів. Якщо для всіх значень ${\displaystyle t\in [a,b]}$ точки ${\displaystyle \gamma (a)}$ і ${\displaystyle \gamma (t)}$ не є спряженими, то геодезична лінія ${\displaystyle \gamma (t)}$ є локальним мінімумом оператора довжини, тобто її довжина є меншою від усіх близьких кривих. Якщо натомість для деякого ${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$ точки ${\displaystyle \gamma (a)}$ і ${\displaystyle \gamma (t_{0})}$ є спряженими то властивість локального мінімуму не є справедливою для всіх ${\displaystyle t>t_{0}.}$ Оскільки множина точок спряжених до даної щодо геодезичної лінії є ізольованою, кажуть, що геодезична крива є локальним мінімумом довжини до першої спряженої точки.

Див. Також

• Поле Якобі

Література

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)