Рівняння Стейнхарта — Харта

Рівняння Стейнхарта—Харта (англ. Steinhart–Hart equation) — модель, що описує електричний опір напівпровідника при різних температурах. Рівняння має вигляд:

${\displaystyle {1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3}}$

де:

• ${\displaystyle T}$ — абсолютна температура (у Кельвінах),
• ${\displaystyle R}$ — опір при температурі T (Ом),
• ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — коефіцієнти Стейнхарта—Харта, які варіюються залежно від типу і моделі термістора і від діапазону температур.

Найбільш загальний вигляд цього рівняння містить також терм ${\displaystyle [\ln(R)]^{2}}$, але ним часто нехтують, оскільки він, як правило, має набагато менше значення, ніж інші коефіцієнти рівняння. Тому в рівнянні вище цей терм не показано.

Використання

Рівняння найчастіше використовується для отримання точних значень температури термісторів (терморезисторів), оскільки воно забезпечує більш точне наближення до фактичної температури, ніж простіші (лінійні) рівняння, а тому працює у всьому діапазоні робочих температур термодатчика. Коефіцієнти Стейнхарта-Харта зазвичай можна знайти в даташитах, що надаються виробниками термісторів.

Якщо ці коефіцієнти не доступні, їх можна отримати шляхом вимірювання опору при трьох точних значеннях температури з подальшим розв'язанням системи з трьох рівнянь.

Зворотне рівняння

Для знаходження опору напівпровідника при заданій температурі використовується зворотне рівняння Стейнхарта—Харта[1]:

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-{x \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{y+{x \over 2}}}\right),}$

де:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Коефіцієнти Стейнхарта—Харта

Для знаходження коефіцієнтів рівняння, необхідно знати три робочі точки, а саме три значення опору термістора при трьох відомих температурах.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\ln \left(R_{1}\right)&\ln \left(R_{1}\right)^{3}\\1&\ln \left(R_{2}\right)&\ln \left(R_{2}\right)^{3}\\1&\ln \left(R_{3}\right)&\ln \left(R_{3}\right)^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

Знаючи значення опорів ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$, ${\displaystyle R_{3}}$ при температурах ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$, можна виразити ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\ln \left(R_{1}\right),\;L_{2}=\ln \left(R_{2}\right),\;L_{3}=\ln \left(R_{3}\right)\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\;Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\;Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\;\gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

Розробники рівняння

Рівняння названо на честь двох його розробників, Джона С. Стейнхарта і Стенлі Р. Харта, які опублікували знайдену ними залежність у 1968 році[2]. Професор Стейнхарт (1929–2003), співробітник Американського геофізичного союзу та Американської асоціації сприяння розвитку науки, був членом факультету Університету Вісконсін-Медісон з 1969 по 1991 роки[3]. Доктор Харт, старший науковий співробітник Woods Hole Oceanographic Institution^[en] з 1989 року і співробітник Геологічного товариства Америки, Американського геофізичного союзу, Geochemical Society^[en], Європейської асоціації з геохімії^[en].[4])

Див. також

• Термістор

Примітки

1. Recktenwald, Gerald (23 травня 2010). Calibration Equations for Thermistors (PDF). Portland State University. Department of Mechanical Engineering. Процитовано 22 червня 2015.
2. John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497-503, ISSN 0011-7471, doi:10.1016/0011-7471(68)90057-0.
3. Memorial resolution of the faculty of the University of Wisconsin-Madison on the death of professor emeritus John S. Steinhart (PDF) (англ) . University of Wisconsin. 5 квітня 2004. Архів оригіналу (PDF) за 10 червня 2010. Процитовано 22 червня 2015.
4. Dr. Stan Hart, (англ) . Woods Hole Oceanographic Institution. Архів оригіналу за 5 червня 2009. Процитовано 22 червня 2015.

Посилання

• Онлайн-калькулятор для знаходження розв'язку рівняння за заданими коефіцієнтами (англ.)