Рівноприскорений рух

Рівноприскорений рух у полі тяжіння Землі. На малюнку видно, що переміщення складається з прямолінійного рівномірного руху і вільного падіння

Рівноприскорений рух — найпростіший вид механічного руху, при якому прискорення залишається сталим. Частковим випадком рівноприскореного руху є рівносповільнений рух, який відбувається тоді, коли напрямки початкової швидкості і прискорення протилежні[1].

Прикладом такого руху є політ в однорідному полі сили тяжіння каменя, кинутого під кутом ${\displaystyle \alpha }$ до горизонту за умови, що опором повітря можна знехтувати: камінь летить зі сталим прискоренням ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}}$, спрямованим вертикально вниз.

Траєкторія має вигляд ділянки параболи або прямої.

Загальна формула:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v}}_{0}}{t}}}$,

де ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — прискорення (визначається в SI в м/с^2), ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — кінцева швидкість, ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ — початкова швидкість, ${\displaystyle t}$ — час.

Формули швидкості та шляху для прискореного руху:

1) при одновимірному рівноприскореному русі швидкість тіла змінюється з часом лінійно за законом:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\ }$;

2) формула координати тіла:

${\displaystyle x=x_{0}+v_{0x}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}}$;

3) формула проєкції переміщення:

${\textstyle s_{x}=v_{0x}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}}$;

4) формула проєкції переміщення, якщо ${\displaystyle t}$ невідомий:

${\displaystyle s_{x}={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a}}}$

Характер рівноприскореного руху

Рівноприскорений рух відбувається в площині, що містить вектори прискорення ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і початкової швидкості ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$. З урахуванням того, що ${\displaystyle {\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t}$ (тут ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радіус-вектор), траєкторію описує вираз

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$.

На заданому інтервалі часу вона являє собою ділянку параболи, яка за паралельності (тобто спів- або проти-спрямованості) векторів ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ перетворюється на відрізок прямої.

Для кожної з координат, скажімо ${\displaystyle y}$, можна записати вирази аналогічної структури:

${\displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}}$,

де ${\displaystyle a_{y}}$ — складова прискорення вздовж осі ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}}$ — радіус-вектор матеріальної точки в момент ${\displaystyle t=0}$ (${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орти).

У прикладі з каменем ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}=0}$, компоненти прискорення ${\displaystyle a_{x}=a_{z}=0}$, ${\displaystyle a_{y}=-g}$, початкова швидкість ${\displaystyle v_{x0}=v_{0}\cos \alpha }$, ${\displaystyle v_{y0}=v_{0}\sin \alpha }$, ${\displaystyle v_{z0}=0}$, при цьому ${\displaystyle x(t)=v_{0x}t}$, а отже, ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}}$.

Переміщення і швидкість

У разі рівноприскореного руху будь-яка з компонент швидкості, наприклад ${\displaystyle v_{x}}$, залежить від часу лінійно:

${\displaystyle v_{x}=v_{0x}+a_{x}t}$.

При цьому зв'язок між переміщенням (${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$) вздовж координати ${\displaystyle x}$ і швидкістю вздовж тієї ж координати такий:

${\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}}$.

Звідси можна отримати вираз для ${\displaystyle x}$- складової кінцевої швидкості тіла за відомих ${\displaystyle x}$-складових початкової швидкості і прискорення:

${\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}$.

Якщо ${\displaystyle a_{x}=0}$, то ${\displaystyle v_{x}=v_{ox}}$, а ${\displaystyle \Delta x=v_{0x}t}$.

Вирази для зміщень ${\displaystyle \Delta y}$, ${\displaystyle \Delta z}$ і компонент швидкості вздовж координат ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle z}$ набувають такого ж вигляду, як для ${\displaystyle \Delta x}$ і ${\displaystyle v_{x}}$, але символ ${\displaystyle x}$ усюди слід замінити на ${\displaystyle y}$ або ${\displaystyle z}$.

У підсумку, за теоремою Піфагора, модуль переміщення буде

${\displaystyle |\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}}$,

а модуль кінцевої швидкості знайдемо як

${\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$.

Рівноприскорений рух не може відбуватися необмежено довго: це означало б, що, починаючи з якогось моменту часу ${\displaystyle t}$, модуль швидкості тіла ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$ перевищить величину швидкості світла у вакуумі ${\displaystyle c}$, що виключено теорією відносності.

Умова здійснення

Рівноприскорений рух реалізується, коли на тіло (матеріальну точку) діє стала сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$, зазвичай в однорідному гравітаційному або електростатичному полі, якщо величина швидкості тіла значно менша, ніж швидкість світла ${\displaystyle c}$. Тоді, за другим законом Ньютона, прискорення буде

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},}$

де через ${\displaystyle m}$ — маса тіла. У прикладі з каменем роль ${\displaystyle {\vec {F}}}$ відіграє сила тяжіння.

Якщо ж швидкість тіла порівнянна зі швидкістю світла, то закон Ньютона в наведеному вигляді непридатний. При цьому, в разі дії сталої сили, відбувається так званий релятивістський рівноприскорений рух, за якого сталим є тільки власне прискорення, а прискорення у фіксованій інерційній системі відліку наближається з часом до нуля в міру наближення величини швидкості до її межі ${\displaystyle c}$.

Теорема про кінетичну енергію точки

Формула переміщення при рівноприскореному русі використовується для доведення теореми про кінетичну енергію. Для цього слід перенести прискорення в ліву частину і домножити обидві частини на масу тіла:

${\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}}$.

Записавши аналогічні співвідношення для координат ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle z}$ і підсумувавши всі три рівності, отримаємо співвідношення:

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}$.

Зліва стоїть робота сталої рівнодійної сили ${\displaystyle {\vec {F}}}$, а праворуч — різниця кінетичних енергій у кінцевий і початковий моменти руху. Отримана формула являє собою математичний вираз теореми про кінетичну енергію точки для випадку рівноприскореного руху[2].

Рівнозмінний рух

Рівнозмінним називають рух, за якого тангенціальна (паралельна швидкості) складова прискорення стала[3]. Такий рух не є рівноприскореним, крім ситуації, коли він відбувається вздовж прямої, але в математичному плані його можна розглянути аналогічно.

У цьому випадку вводиться узагальнена координата ${\displaystyle S}$, яку часто називають шляхом, що відповідає довжині пройденої траєкторії (довжині дуги кривої). Таким чином, формула набуває вигляду:

${\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}}$,

де ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенціальне прискорення, яке «відповідає» за зміну модуля швидкості тіла. Для швидкості маємо:

${\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}$.

При ${\displaystyle a_{\tau }=0}$ маємо рух зі сталою за модулем швидкістю.

Іноді прикметник рівнозмінний замінюють на криволінійний равноприскорений, що вносить плутанину, оскільки, скажімо, рівноприскорений рух каменя по кривій (параболе) в поле тяжіння не рівнозмінний.

Див. також

• Релятивістський рівноприскорений рух

Примітки

1. Física 4ª (іспанська) . Мексика: CECSA. 2004. ISBN 970-24-0257-3. {{cite book}}: |first= з пропущеним |last= (довідка)
2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М. : «Высшая школа», 1995. — С. 214. — ISBN 5-06-003117-9.
3. Див. Физический энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, под. ред. А. М. Прохорова (1983), стаття «Равнопеременное движение», стор. 602.