Псі-функція Дедекінда

Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення модулярних функцій.

Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (послідовність A001615 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Означення

Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1) = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:

• Для ${\displaystyle n\geqslant 2:}$

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.

• Якщо розклад числа ${\displaystyle n\geqslant 2}$ на прості множники є ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{k}^{a_{k}},}$ де всі ${\displaystyle a_{i}>0}$ то значення функції є рівним:

${\displaystyle \psi (n)=(p_{1}+1)p_{1}^{a_{1}-1}\ldots (p_{k}+1)p_{k}^{a_{k}-1}.}$

• Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$ і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ виконується рівність ${\displaystyle \psi (mn)=\psi (m)\psi (n).}$ Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа.
• Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле

${\displaystyle \psi (n)=\mathrm {Id} *|\mu |(n)=\mathrm {Id} *\mu ^{2}(n)}$

де ${\displaystyle \mathrm {Id} (n)=n}$, а ${\displaystyle \mu (n)}$ є функцією Мебіуса.

• Якщо ${\displaystyle a|n}$ нехай ${\displaystyle e(a)}$ позначає найбільший спільний дільник чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle {n \over a}.}$ Тоді:

${\displaystyle \psi (n)=\sum _{a|n}({a \over e(a)})\varphi (e(a))}$

де ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера.

Властивості

• Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.

• Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.

• Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).

• Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний із дзета-функцією Рімана співвідношенням

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}$

Функції Дедекінда вищих порядків

Узагальненням псі-функції є функції

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

де k є натуральними числами, а ${\displaystyle J_{k}}$ є арифметичними функціями Жордана: ${\textstyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,}$

Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}}$.

Якщо позначити

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σ_k,

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$.

Див. також

• Дзета-функція Рімана.
• Функція Ейлера
• Функція Мебіуса

Посилання

• Weisstein, Eric W. Dedekind Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton. (page 25, equation (1))
• Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 [math.NT]. Section 3.13.2
•  A065958 is ψ₂,  A065959 is ψ₃, and  A065960 is ψ₄