Проєктивний модуль

Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.

Визначення

Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.

• Модуль ${\displaystyle P}$ над кільцем ${\displaystyle R}$ (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма ${\displaystyle g\colon P\to M}$ і епіморфізма ${\displaystyle f\colon N\to M}$ існує такий гомоморфізм ${\displaystyle h\colon P\to N}$, що ${\displaystyle g=fh}$, тобто дана діаграма є комутативною:

Діаграма для проєктованого модуля

• Модуль ${\displaystyle P}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль ${\displaystyle K}$, що пряма сума ${\displaystyle F=P\oplus K}$ є вільним модулем.

Справді, нехай ${\displaystyle P}$ є компонентою прямої суми ${\displaystyle F}$, яка є вільним модулем, і ${\displaystyle g\colon P\to M}$ — гомоморфізм, a ${\displaystyle f\colon N\to M}$ — епіморфізм. Тоді ${\displaystyle g\circ p_{1}\colon F\to M}$ теж є гомоморфізмом (${\displaystyle p_{1}}$ — проєкція прямої суми ${\displaystyle F}$ на перший доданок ${\displaystyle P}$), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм ${\displaystyle h_{1}\colon F\to N}$, такий, що ${\displaystyle g\circ p_{1}=f\circ h_{1}}$, звідси ${\displaystyle g\circ p_{1}\circ i_{1}=f\circ h_{1}\circ i_{1}}$, де ${\displaystyle i_{1}}$ — гомоморфізм включення ${\displaystyle P\to F}$, звідси

${\displaystyle g=f\circ h_{1}\circ i_{1}\colon P\to M}$

Навпаки, нехай ${\displaystyle P}$ — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай ${\displaystyle g\colon F\to P}$ — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм ${\displaystyle id\colon P\to P}$ буде рівним ${\displaystyle id=g\circ h}$ для деякого ${\displaystyle h\colon P\to F}$, так як ${\displaystyle P}$ є проєктивним. Будь-який елемент ${\displaystyle F}$ тоді можна записати як

${\displaystyle x=h\circ g(x)+(x-h\circ g(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g}$,

де ${\displaystyle \mathrm {Im} \,h}$ є ізоморфним ${\displaystyle P}$.

• ${\displaystyle P}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма ${\displaystyle f\colon N\to M}$ індукований гомоморфізм ${\displaystyle f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)}$теж є епіморфізмом.
• ${\displaystyle P}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ в точну послідовність ${\displaystyle 0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0}$.
• Модуль ${\displaystyle P}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\ {\xrightarrow {f}}\ P\rightarrow 0}$

розщеплюється. Тобто для відображення f : B ↠ P на діаграмі існує відображення h : P → B, таке що f ∘ h = id_P. У цьому випадку h(P) є прямим доданком модуля B, h є ізоморфізмом із P на h(P), а h ∘ f є проєкцією на h(P). Це також можна записати як

${\displaystyle B=\mathrm {Im} (h)\oplus \mathrm {Ker} (f)\ \ \;\ \mathrm {Ker} (f)\cong A\ \land \ \mathrm {Im} (h)\cong P.}$

• Модуль ${\displaystyle P}$ над кільцем ${\displaystyle R}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$ і множина гомоморфізмів ${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$ таких що для кожного ${\displaystyle x\in P,}$ виконується рівність ${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$ і f_i(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
• Модуль ${\displaystyle P}$ над кільцем ${\displaystyle R}$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(P,T)=0}$ (і тому ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(P,T)=0,\;i>0.}$)

Властивості

• Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
• Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
• Будь-який проєктивний модуль є плоским.
• Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.

Приклади

• Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль ${\displaystyle F}$.

Справді, нехай ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots }$ — елементи базису модуля ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle g(x_{i})=y_{i}}$. Оскільки ${\displaystyle f}$ — епіморфізм, можна знайти такі ${\displaystyle z_{i}}$, що ${\displaystyle f(z_{i})=y_{i}}$. Тоді ${\displaystyle h}$ можна визначити, задавши його значення на векторах базису як ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i}}$.

• Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
• У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
• Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.

Див. також

• Лема Шаунеля
• Вільний модуль
• Ін'єктивний модуль
• Проєктивний об'єкт

Література

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)