Представлення алгебри Лі

Представленням алгебри Лі (або, зображенням алгебри Лі) називається гомоморфізм із алгебри Лі ${\displaystyle L}$ у повну лінійну алгебру перетворень деякого векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$,

${\displaystyle \varphi \colon L\to {\mathfrak {gl}}(V)}$,

де ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ – це алгебра Лі асоційована до асоціативної алгебри ендоморфізмів векторного простору ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V):=\mathrm {End} (V)^{(-)}}$.

Приклади представлень алгебр Лі

Важливим прикладом представлення є приєднане представлення алгебри Лі ${\displaystyle \mathrm {ad} \colon L\to {\mathfrak {gl}}(L)}$. Це представлення зіставляє елементу ${\displaystyle x\in L}$ оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x}$, що діє на елементи з ${\displaystyle L}$ за правилом ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x(y)=[x,y]}$.

Див. також

Представлення групи

Джерела

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — М. : МЦНМО, 2003. — 216 с.