Породжений підграф

Породжений підграф графа — це інший граф, утворений з підмножини вершин графа разом з усіма ребрами, що з'єднують пари вершин з цієї підмножини.

Визначення

Формально, нехай G = (V, E) — будь-який граф, і нехай S ⊂ V — підмножина вершин графа G. Тоді породжений підграф G[S] — це граф, вершинами якого є елементи S а ребра якого складаються з усіх ребер з множини E кінцеві вершини яких належать S[1]. Одне і те ж визначення підходить для неорієнтованих графів, орієнтованих графів і навіть для мультиграфів.

Породжений підграф G[S] може бути також названий підграфом, породженим у G набором вершин S або (якщо контекст не призводить до двозначності) породженим підграфом вершин S

Приклади

Важливими типами підграфів є такі:

Задача про змію в коробці відноситься до пошуку найдовших породжених шляхів у графах гіперкубів .

• Породжені шляхи — це породжені підграфи, які є шляхами. Найкоротший шлях між будь-якими двома вершинами в невиваженому графі завжди є породженим шляхом. І навпаки, в дистанційно-успадковуваних графах будь-який породжений граф є найкоротшим шляхом[2].
• Породжені цикли — це породжені підграфи, які є циклами. Обхват графа визначається довжиною його найкоротшого циклу, який завжди є породженим циклом. Згідно з сильною теоремою про досконалі графи породжені цикли і їх доповнення грають критичну роль у характеризації досконалих графів[3].
• Кліки і незалежні множини є породженими підграфами, які є повними підграфами або графами без ребер відповідно.
• Окіл вершини — це породжений підграф всіх суміжних вершин вибраної вершини.

Обчислення

Задача ізоморфізму породжених підграфів^[ru] є видом задачі пошуку ізоморфного підграфа, в якій метою є перевірка, чи може один граф бути знайдений як породжений підграф іншого графа. Оскільки ця задача включає задачу про кліку як окремий випадок, вона NP-повна [4].

Примітки

1. Diestel, 2006, с. 3–4.
2. Howorka, 1977, с. 417–420.
3. Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas, 2006, с. 51–229.
4. Johnson, 1985, с. 434–451.

Література

• Reinhard Diestel. Graph Theory. — Springer-Verlag, 2006. — Т. 173. — С. 3–4. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 9783540261834.
  • Рейнгард Дистель. Теория графов. — Новосибирск : Издательство Института математики, 2002. — ISBN 5-86134-101-X.
• Edward Howorka. A characterization of distance-hereditary graphs // The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series. — 1977. — Т. 28, вип. 112. — С. 417–420. — doi:10.1093/qmath/28.4.417.
• Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas. The strong perfect graph theorem // Annals of Mathematics. — 2006. — Т. 164, вип. 1. — С. 51–229. — doi:10.4007/annals.2006.164.51.
• David S. Johnson. The NP-completeness column: an ongoing guide // Journal of Algorithms. — 1985. — Т. 6, вип. 3. — С. 434–451. — doi:10.1016/0196-6774(85)90012-4.