Поліноми Кравчука на монеті України 2012 року «Михайло Кравчук» Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук , 1929 ) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл , а ряд або скінченну суму:
∑
x
=
0
N
k
n
(
p
)
(
x
)
k
m
(
p
)
(
x
)
σ
(
x
)
=
d
n
2
,
δ
m
,
n
{\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_{n}^{2},\delta _{m,n}}
Тут
σ
(
x
)
=
(
N
x
)
p
x
q
N
−
x
{\displaystyle \sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{N-x}}
d
n
=
(
N
n
)
(
p
q
)
n
{\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n}}}}
0
<
p
<
1
,
0
<
q
<
1
,
p
+
q
=
1
{\displaystyle 0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1}
p
=
q
=
1
/
2
{\displaystyle p=q=1\left/2\right.}
1
/
2
N
{\displaystyle 1\left/2^{N}\right.}
біноміального коефіцієнта .
Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд
(
n
+
1
)
k
n
+
1
(
p
)
(
x
)
+
p
q
(
N
−
n
+
1
)
k
n
−
1
(
p
)
(
x
)
=
[
x
+
n
(
p
−
q
)
−
p
N
]
k
n
(
p
)
(
x
)
{\displaystyle (n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)}
Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду
f
n
+
1
k
n
+
1
(
p
)
(
x
)
d
n
+
1
+
f
n
k
n
−
1
(
p
)
(
x
)
d
n
−
1
=
(
r
x
+
ε
n
+
Δ
)
k
n
(
p
)
(
x
)
d
n
{\displaystyle f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}(x)}{d_{n}}}}
де
f
n
=
n
(
N
+
1
−
n
)
N
,
r
=
1
p
q
N
,
ε
=
r
(
p
−
q
)
,
Δ
=
−
r
p
N
.
{\displaystyle f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N}}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN}}},\quad \varepsilon =r(p-q),\quad \Delta =-rpN.}
Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:
k
n
(
p
)
(
x
)
=
(
−
1
)
n
(
N
n
)
p
n
2
F
1
(
−
n
,
−
x
;
−
N
;
1
/
p
)
{\displaystyle k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)}
В границі при
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
Поліноми Ерміта :
lim
N
→
∞
(
2
/
N
p
q
)
n
/
2
n
!
;
k
n
(
p
)
(
N
p
+
2
N
p
q
,
x
)
=
H
n
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)}
Перші чотири поліноми для найпростішого випадку
p
=
q
=
1
/
2
{\displaystyle p=q=1/2}
K
0
(
x
,
N
)
=
1
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1}
K
1
(
x
,
N
)
=
−
2
x
+
N
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N}
K
2
(
x
,
N
)
=
2
x
2
−
2
N
x
+
(
N
2
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}}
K
3
(
x
,
N
)
=
−
4
3
x
3
+
2
N
x
2
−
(
N
2
−
N
+
2
3
)
x
+
(
N
3
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}}
Звичайна породжуюча функція
(
1
+
(
q
−
1
)
z
)
n
−
x
(
1
−
z
)
x
=
∑
k
=
0
∞
K
k
(
x
;
n
,
q
)
z
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}
![{\displaystyle (n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04769549e7292e6b94b6724e117a8df76fffb47)
