Поліноми Бернштейна

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

${\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.}$

де ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору ${\displaystyle \Pi _{n}}$ поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)}$

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти ${\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}$ називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Приклади

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

${\displaystyle b_{0,0}(x)=1\,}$

${\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x\,}$

${\displaystyle b_{1,1}(x)=x\,}$

${\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,}$

${\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,}$

${\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .}$

Властивості

• Розбиття одиниці:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}B_{i,n}(x)=1}$,

• Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:

${\displaystyle B_{k,n}(x)\geq 0,\in [0,1]}$,

• Рекурентні відношення:

${\displaystyle B_{k,n}(x)=(1-x)B_{k,n-1}(x)+xB_{k-1,n-1}(x)}$.

• Симетрія:

${\displaystyle B_{k,n}(x)=B_{n-k,n}(1-x)}$

• Добуток поліномів:

${\displaystyle B_{k,n}(x)B_{j,m}(x)}$ ${\displaystyle ={\frac {{n \choose k}{m \choose j}}{{n+m} \choose {k+j}}}B_{k+j,n+m}(x)}$

• Похідна:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}B_{k,n}(x)=n\left(B_{k-1,n-1}(x)-B_{k,n-1}(x)\right)}$ де приймається ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=0}$ для ${\displaystyle i<0}$ чи ${\displaystyle i>n}$

• Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:

${\displaystyle B_{k,n}(x)={\frac {n+1-k}{n+1}}B_{k,n+1}(x)+{\frac {k+1}{n+1}}B_{k+1,n+1}(x)}$

• Локальний максимум:

${\displaystyle B_{k,n}(x)\,}$ має локальний максимум на проміжку ${\displaystyle [0,1]\,}$ у точці ${\displaystyle x={\frac {i}{n}}\,}$. Дане значення рівне:

${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$

Вираження ${\displaystyle x^{k}}$ через поліноми Бернштейна

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots (n-k+1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 3}$

Апроксимація неперервних функцій

Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Тоді:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}$

рівномірно на проміжку [0, 1].

Див. також

• Крива Без'є

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)