Плоска хвиля

Схематичне зображення плоского фронту хвилі

Плоска́ хви́ля — хвиля, фронт якої є площиною.

Рівняння плоскої хвилі має загальний вигляд:

${\displaystyle u=f(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} -vt)}$,

де орт ${\displaystyle \mathbf {n} }$ задає напрям розповсюдження хвилі, v — швидкість хвилі, f — довільна функція.

Частковим випадком плоскої хвилі є монохроматична плоска хвиля.

Поняття плоскої хвилі є ідеалізацією, оскільки при означенні такої хвилі вважається, що фронт хвилі задається нескінченною площиною, що неможливо для реальних хвиль. Однак, ідеалізація плоскої хвилі широко використовується в різних галузях фізики при розгляді хвиль різноманітної природи: звукових, електромагнітних, зокрема світлових та при описі квантових частинок і полів. Хвилю можна вважати наближено плоскою на великій віддалі від джерела.

Найчастіше у фізиці розглядаються гармонічні плоскі хвилі в лінійних середовищах, для яких функція f - синусоїда або суперпозиція кількох синусоїд, однак плоска хвиля не обов'язково повинна бути гармонічною, як, наприклад, у випадку солітона.

Плоска монохроматична однорідна електромагнітна хвиля

Плоскою електромагнітною хвилею називається хвиля, в якої поверхня рівних фаз являє собою площину.

Плоска хвиля називається однорідною, якщо вектори поля ^E → {\displaystyle {\vec {E}}} і ^H → {\displaystyle {\vec {H}}} при відповідному виборі напрямків осей координат залежать від однієї просторової координати та від часу. Якщо плоска хвиля лінійно поляризована, то напрямки векторів ^E → {\displaystyle {\vec {E}}} (і перпендикулярних до них векторів ^H → {\displaystyle {\vec {H}}}) у всьому просторі паралельні один одному.

Нехай електромагнітна хвиля поширюється в ідеальному σ=0 однорідному, ізотропному, лінійному, з постійними параметрами діелектрику без електричних зарядів (q=0) і струмів провідності (J=0). Нехай μ=1, а ε=const.

Джерело електромагнітної енергії значно віддалено від точки спостереження. Хвильовим фронтом можна вважати площину z=const. Таку хвилю називають плоскою. Вона може створюватися випроміненням нескінченної площини. Реально — це сферичні хвилі, що знаходяться на великій віддалі від джерела.

Існує підстава вважати, що поле уздовж цієї площини не змінюється, тобто складові ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}=0}$. Хвиля є однорідною.

Використовуючи рівняння Максвелла, можна визначити зв'язок між складовими електромагнітного поля ^E → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {E}}}} і ^H → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {H}}}}, швидкістю поширення і структурою ЕМХ, вважаючи, що поле збуджується гармонічним струмом з частотою ω.

Завдяки лінійності середовища вектори ^E → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {E}}}} і ^H → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {H}}}} також змінюються за гармонічним законом:

${\displaystyle {\vec {H}}(x,y,z,t)={\dot {\vec {H}}}e^{j\omega t}\ =({\vec {i}}{\dot {H_{x}}}+{\vec {j}}{\dot {H_{y}}}+{\vec {k}}{\dot {H_{z}}})e^{j\omega t}}$

${\displaystyle {\vec {E}}(x,y,z,t)={\dot {\vec {E}}}e^{j\omega t}\ =({\vec {i}}{\dot {E_{x}}}+{\vec {j}}{\dot {E_{y}}}+{\vec {k}}{\dot {E_{z}}})e^{j\omega t}}$

^E → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {E}}}} і ^H → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {H}}}} є комплексними амплітудами векторів, а їхні проєкції на осі координат ${\displaystyle H_{x}\ }$, ${\displaystyle E_{x}\ \ }$ і т. д.) — комплексними амплітудами проєкцій.

Поширення плоских хвиль у середовищі без втрат

Таким середовищем є вакуум, а близьким до нього є сухе повітря. На практиці трапляються випадки, коли за умов конкретної задачі втратами можна знехтувати. У всіх цих випадках можна вважати, що йде мова про середовище, в якому σ=0 і tgδ=0.

В цьому випадку ${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}$, a=0.

Фазова швидкість плоскої хвилі буде дорівнювати ${\displaystyle \upsilon ={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {\omega }{\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}}$

Групова швидкість ${\displaystyle \upsilon ={\frac {d\omega }{d\beta }}={\frac {1}{\frac {d\beta }{d\omega }}}={\frac {1}{{\frac {d}{d\omega }}(\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}})}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}}$

З цього видно що в таких середовищах фазова і групова швидкості рівні між собою.

Хвильовий опір ${\displaystyle z_{c}={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{\varepsilon _{a}}}}}$ є дійсним числом, а вектори ^E → {\displaystyle {\vec {E}}} та ^H → {\displaystyle {\vec {H}}} зберігаються за фазами:

${\displaystyle {\dot {\vec {E}}}_{mx}={\vec {x}}_{0}Ae^{-az}e^{-j\beta z}}$

${\displaystyle {\dot {\vec {H}}}_{my}={\vec {y}}{\frac {A}{{\dot {z}}_{c}}}e^{-az}e^{-j\beta z}={\vec {y}}_{0}A{\sqrt {\frac {|\varepsilon _{a}|}{\mu _{a}}}}e^{-az}e^{-j\beta z}}$

Див. також

• Сферична хвиля
• Монохроматична плоска хвиля

Джерела інформації

Ю.В. Крушевський, Ю.І. Кравцов, В.М. Мізерний Електродинаміка та поширення радіохвиль ч.1 Основи електродинаміки, Вінниця: ВНТУ 2004, 128 с.

П.М. Чернишов В.П. Самсонов М.П. Чернишов Технічна електродинаміка Х.: Прапор, 2006. 290с.