Парні функції і непарні функції — математичні функції , які задовольняють певним відношенням симетрії . Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу , особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є . Названі на честь парності степенів степеневих функцій , які задовольняють кожну умову: функція
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.
Приклад парної функції : f (x ) = x 2 Функція
f
:
X
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
парною , якщо для будь-якого
x
{\displaystyle x}
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=f(x)}
[ 1] [ 2] [ 3]
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат .[ 2]
Приклади парних функцій:
y
=
|
x
|
{\displaystyle y=|x|}
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
Алгоритм дослідження функції
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Знайти для функції
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
область визначення функції
D
(
y
)
{\displaystyle D(y)}
D
(
y
)
{\displaystyle D(y)}
Якщо область визначення функції
D
(
y
)
{\displaystyle D(y)}
скласти вираз
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(-x)}
порівняти
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(-x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
x
{\displaystyle x}
D
(
y
)
{\displaystyle D(y)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Приклад Дослідити на парність функцію
y
=
4
x
6
−
3
x
4
+
5
{\displaystyle y=4x^{6}-3x^{4}+5}
Розв'язання:
f
(
−
x
)
=
4
(
−
x
)
6
−
3
(
−
x
)
4
+
5
=
4
(
x
)
6
−
3
(
x
)
4
+
5
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{6}-3(-x)^{4}+5=4(x)^{6}-3(x)^{4}+5=f(x)}
Якщо точка
M
(
a
;
b
)
{\displaystyle M(a;b)}
f
{\displaystyle f}
M
(
−
a
;
b
)
{\displaystyle M(-a;b)}
[ 4]
Приклад непарної функції : f (x ) = x 3 Функція
f
:
X
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
непарною , якщо для будь-якого
x
{\displaystyle x}
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
[ 1] [ 2] [ 3]
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат .[ 2]
Приклади непарних функцій
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
Алгоритм дослідження функції
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Скласти вираз
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(-x)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
аргумент
x
{\displaystyle x}
−
x
{\displaystyle -x}
Порівняти
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(-x)}
−
f
(
x
)
{\displaystyle -f(x)}
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
Приклад З'ясувати, чи функція
f
(
x
)
=
3
x
5
−
8
x
3
{\displaystyle f(x)=3x^{5}-8x^{3}}
f
(
−
x
)
=
3
(
−
x
)
5
−
8
(
−
x
)
3
=
−
3
x
5
+
8
x
3
=
−
(
3
x
5
−
8
x
3
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=3(-x)^{5}-8(-x)^{3}=-3x^{5}+8x^{3}=-(3x^{5}-8x^{3})=-f(x)}
Якщо точка
M
(
a
;
b
)
{\displaystyle M(a;b)}
f
{\displaystyle f}
M
(
−
a
;
−
b
)
{\displaystyle M(-a;-b)}
[ 4]
Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.[ 5]
Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.[ 5]
Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.[ 5]
Як для парної, так і для непарної функцій справедливо
|
f
(
x
)
|
=
|
f
(
−
x
)
|
{\displaystyle \left|f(x)\right|=\left|f(-x)\right|}
[ 5]
Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.[ 6]
Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.[ 7]
Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.[ 6] [ 7]
Довільну функцію
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
−
x
{\displaystyle -x}
[ 2] [ 5]
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
2
+
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}
Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.
↑ а б Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А. ; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас . Х .: Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9 ↑ а б в г д Гельфанд И.М. ; Глаголева Е.Г.; Шноль Э.Э. (1968). Функции и графики (основные приёмы) . Математика. Библиотека физико-математической школы (російською) . М .: Наука.↑ а б Парні та непарні функції . miyklas.com.ua . Архів оригіналу за 10 листопада 2021. Процитовано 11 листопада 2021 .↑ а б Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2017). Алгебра 9 клас . Гімназія. ↑ а б в г д Вирченко Н. А. , Ляшко И. И. , Швецов К. И. К . : Наукова думка , 1979. — 320 с.(рос.) ↑ а б W., Weisstein, Eric. Even functions . Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021 . ↑ а б W., Weisstein, Eric. Odd function . Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021 .
