|
Парадокс хлопчика та дівчинкиПарадокс хлопчика та дівчинки (також відомий як «Діти містера Сміта» і «Проблеми місіс Сміт») — математичний парадокс у теорії ймовірностей. Вперше задача була сформульована в 1959 році, коли Мартін Гарднер опублікував один з найраніших варіантів цього парадокса в журналі Scientific American під назвою «The Two Children Problem». Інші варіанти цього парадоксу з різним ступенем невизначеності набули популярності в недавньому часі. ФормулюванняПарадокс має таке формулювання:
Сам Мартін Гарднер спочатку давав відповідь 1/2 і 1/3 відповідно, але потім зрозумів, що ситуація в другому випадку неоднозначна. Відповідь на друге питання може бути 1/2 в залежності від того, як було з'ясовано, що один з дітей хлопчик. Неоднозначність залежно від конкретної умови задачі і зроблених припущень була пізніше підтверджена 1982 року (Maya Bar-Hillel and Ruma Falk «Some teasers concerning conditional probabilities») і в травні 2004 року (Raymond S. Nickerson «Cognition and Chance: The Psychology of Probabilistic Reasoning»). Психологічне сприйняття даного парадоксу теж є цікавим. Наукове дослідження, яке було проведено в 2004 році (Craig R. Fox & Jonathan Levav (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability), показала, що при ідентичній схожості початково заданої інформації, але при різноманітних варіаціях в формулюванні задачі, підштовхуючи до вибору певної точки зору, частина студентів програми MBA, що дали відповідь 1/2 на 2 питання коливається від 85% до 39%. Парадокс часто викликає багато суперечностей. Багато людей є затятими прибічниками кожного з варіантів відповідей, при цьому вони заперечують, а іноді й зневажають протилежну точку зору. Парадокс полягає в тому, що при різних підходах до аналізу шукана ймовірність відмінна. Найбільш очевидна відповідь на обидва запитання — 1/2. Однак, ця відповідь очевидна лише в тому разі, коли з кожного питання випливає, що є два варіанти результату для статі другої дитини (хлопчик або дівчинка) і що ймовірності цих результатів — безумовні. Перше питання• У містера Джонса двоє дітей. Старша дитина — дівчинка. Яка ймовірність того, що обидві дитини дівчата? Оберемо випадкову сім'ю, що відповідає умовам першого запитання. Тоді існують 4 рівноймовірних результати:
Лише 2 з можливих результатів задовольняють критерію, вказаному у питанні (Це варіанти ДД, ДХ). Через те, що обидва результати з нової множини елементарних результатів {ДД, ДХ} рівноймовірні і лише один результат містить 2 дівчаток — ДД, — ймовірність того, що обидві дитини дівчата — 1/2. Друге питання
Друге питання схоже на перше, проте, замість твердження про те, що старша дитина хлопчик, у запитанні говориться про те, що хоча б один з дітей — хлопчик. У відповідь на критику з боку читачів Гарднер погоджується, що «через неможливості детального опису процедури рандомізації» його початкове формулювання має два способи інтерпретації методу відбору сім'ї:
Очевидно, що кожен містер Сміт має по одному сину (це необхідна умова), однак не ясно, чи кожен містер Сміт з одним сином буде потрапляти під наш розгляд. В цьому і полягає проблема: твердження не говорить, що наявність сина — є достатньою умовою для включення містера Сміта у «вибірку». При цьому Бар-Хіллель и Фальк (Bar-Hillel & Falk), коментуючи роботу Гарднера, помічають, що «Місіс Сміт на відміну від читача, звичайно ж знає, якої статі її діти, коли стверджує що-небудь». Відштовхуючись від відповіді: «У мене двоє дітей і принаймні один з них хлопчик» — правильним, на їх думку, буде відповісти 1/3, як початково і вважав Гарднер. Однак це лише вважається так, бо у цьому прикладі хлопчик та дівчинка вважалися як індивідуальні особи. Тоді потрібно рахувати, що є два різних варіанта в яких в сім'ї 2 хлопчика, теж саме з дівчатами. Далі враховуючи, що варіант з двома дівчатами не розглядається, то залишаються 4 варіанти (2 варіанти з 2 хлопчиками та 2 варіанти з хлопчиком та дівчинкою) звідти правильною відповіддю буде 1/2. Аналіз неоднозначностіЯкщо припустити, що сім'ю обрано за принципом, що в ній є хоча б одна дитина — хлопчик, і при цьому наявність хлопчика береться, як необхідна і достатня умова, то залишаються 3 з 4 рівноймовірних результатів для сім'ї з двома дітьми серед описаної раніше множини елементарних результатів.
За припущення, що в процесі пошуку хлопчика розглядаються обидві дитини, відповідь на запитання буде 1/3. Однак, якщо спочатку була обрана родина, а потім вже накладалась умова на стать дитини, то правильним методом підрахунку буде вже не підрахунок прийнятних варіантів, а обчислення умовної ймовірності для кожного випадку.
Відповідь отримана шляхом визначення умовної ймовірності (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2. Помітимо, що у випадку з вибором конкретної дитини все відбудеться дещо інакше і аналогічна відповідь буде отримана за допомогою інших обчислень. Наприклад, якщо спочатку ми будемо визначити стать молодшої дитини, тоді:
тобто (1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2. Варіанти питаньЗ того часу, як парадокс Гарднера став популярним, він широко обговорювався, і були придумані різні форми другого запитання. Перший варіант був запропонований Bar-Hillel і Falk, звучав він так:
У 1991 році Мерилін вос Савант у своїй колонці «Запитайте Мерилін» у журналі Parade відповіла читачеві, який попросив її вирішити варіант парадоксу з цуценятами. В 1996 році з'явилась ще одна варіація другого питання в інтерпретації з цуценятами:
1996 рік. У чоловіка і жінки (ніяк не пов'язаних між собою) є по двоє дітей. Ми знаємо, що у жінки принаймні один син, а старша дитина чоловіка — хлопчик. Чи можете ви пояснити, чому ймовірність мати 2-х синів у чоловіка і жінки не рівні? Сама вос Савант дала класичну відповідь на це питання. Але при цьому вона провела опитування, в ході якого читачі з 2-ма дітьми, серед яких принаймні один син, відповідали на питання, якої статі їхні діти. 35,9% з майже 18000 людей відповіли, що у них 2 хлопчика. Ця замітка Вос Савант була докладно розглянута Карлтоном і Стенсфілдом в 2005 році в статті журналу The American Statistician. Автори не обговорювали можливу двозначність в цьому питанні, і зроблять висновок, що її відповідь є правильною з математичної точки зору, з урахуванням передумови, що ймовірності появи хлопчика і дівчинки рівні, і що стать другої дитини не залежить від статі першого. Щодо її використання вони заявляють, що «В будь-якому випадку, ми підтримуємо твердження Вос Савант про те, що ймовірності, представлені в первісному питанні не рівні, вірно і що ймовірність двох хлопчиків, ближче до 1/3, ніж до 1/2.» Психологічне дослідженняЗ точки зору статистичного аналізу вищеописані питання часто неоднозначні і не мають «правильної» відповіді, як такої. Однак парадокс другої дитини на цьому не вичерпується, також корисними є можливості, які він відкриває для дослідження інтуїтивного сприйняття людиною ймовірності. Дослідження, подібні тим, що проводила Вос Савант, стверджують, що якби люди були послідовними, то скоріш за все приходили до відповіді 1/3, але частіше зустрічається відповідь 1/2. Неоднозначність цього другого питання, хоча і створює парадокси в класичній математиці, є ґрунтом для того, щоб вивчати інтуїтивне сприйняття людьми ймовірності. Fox & Levav у 2004 році використали цей парадокс, щоб вивчити, як люди оцінюють умовну ймовірність. У цьому дослідженні парадокс був представлений людям у двох видах:
Автори стверджують, що перше формулювання дає читачеві помилкове враження, що існує дві рівноймовірні можливості для «іншої дитини», тоді як друге формулювання дає читачеві враження, що існує чотири можливих результати, один з яких був виключений (в результаті ймовірність для двох хлопчиків дорівнює 1/3, так як існує три можливих елементарних результати, тільки в одному з яких обидві дитини хлопчики). За результатами цього експерименту з'ясувалося, що 2 ці формулювання заплутують людей. Так, у першому випадку відповідь 1/2 давали 85% респондентів, у той час як у другому тільки 39%. Автори припускають, що причиною, через яку люди по-різному відповідають на ці 2 питання, є те, що люди приймають рішення за допомогою евристик, що припускають використання неформалізованих методів, на відміну від розв'язання методами, що спираються на чіткі математичні моделі. Джерела
Див. також
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
