Опукла поверхня

Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнею[1].

Приклад

Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі ${\displaystyle E^{n}}$, задана рівнянням ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leqslant R^{2}}$. Відповідно, сфера ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=R^{2}}$ — повна опукла поверхня.

З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.

Топологічна будова опуклих поверхонь

Опуклі тіла в евклідовому просторі ${\displaystyle E^{3}}$ можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:[2]

1. скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
2. нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
3. циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру;
4. шари між паралельними площинами;
5. весь простір.

Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі ${\displaystyle E^{3}}$ можуть бути трьох типів:

1. замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
2. нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
3. циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.

Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у гіперболічному просторі не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня у гіперболічному просторі гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня у гіперболічному просторі.[3]

Локальна опуклість

Поверхню F називають локально опуклою в точці ${\displaystyle x\in F}$, якщо існує такий окіл U точки x, що ${\displaystyle F\cap U}$ — опукла поверхня.

Для опуклості зв'язної замкненої множини F в ${\displaystyle R^{n}}$ необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.[4]

Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері ${\displaystyle S^{n}}$, або M гомеоморфний ${\displaystyle R^{n}}$[5].

Нехай в (n+1)-вимірний гіперболічний простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері ${\displaystyle S^{n}}$, або M — орисфера[6].

Див. також

• Локально опуклий простір

Примітки

1. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11.
2. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377.
3. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
4. Nakajima Soji. Über konvexe Kurven und Flächen // Tohoku Math. J.. — Bd. 29. — S. 227—230.
5. J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223—242.
6. О. А. Борисенко, Д. І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278—285.