Орисфера

Спряжені орисфери в моделі Пуанкаре.

У фінслеровій геометрії, орисфера визначається як межа сімейства сфер, таким чином.

Зафіксуємо точку ${\displaystyle p}$ фінслерового простору та геодезичний промінь ${\displaystyle l}$, що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер ${\displaystyle S(r,O),\ O\in l}$, що проходять через точку ${\displaystyle p}$, центри яких розташовані на промені ${\displaystyle l}$. Межа послідовності цих сфер, коли радіус ${\displaystyle r}$ зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення

• Орисфера ${\displaystyle H_{l^{-}}}$, що проходить через точку ${\displaystyle p}$, і побудована за променем ${\displaystyle l^{-}}$, протилежно спрямованому променю ${\displaystyle l}$, називається спряженою до орисфери ${\displaystyle H_{l^{+}}}$, побудованої по променю ${\displaystyle l}$.
• Орикуля — тіло обмежене орисферою.
• На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
• Сімейство орисфер, для якого точка ${\displaystyle p}$ пробігає всю пряму ${\displaystyle l}$, доповнене сімейством прямих «паралельних» ${\displaystyle l}$ утворює орициклічну систему координат.

Приклади

• В евклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма. Отже, поняття орисфери в такому сенсі узагальнює поняття площини.

Гіперболічний простір

Залежно від моделі гіперболічної геометрії, орисфери мають такий вигляд:

• В моделі Пуанкаре в кулі ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюту та круги, що проходять через центр сфери ${\displaystyle \Delta ^{n}}$.
• В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|\ x_{n}>0\}}$ орисферами будуть сфери, дотичні до площини ${\displaystyle x_{n}=0}$ (абсолюту) та площини ${\displaystyle x_{n}=C,\ (C>0)}$.

Властивості орисфер у многовидах Адамара

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид недодатної секційної кривини. Прикладом буде гіперболічний простір, як многовид сталої секційної кривини −1.

У многовиді Адамара класу ${\displaystyle C^{\infty }}$ орисфера буде поверхнею класу ${\displaystyle C^{2}}$[1]. Тому для орисфер у многовиді Адамара існує нормальна кривина в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомо, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами ${\displaystyle 0>-k_{1}^{2}\geqslant K_{\sigma }\geqslant -k_{2}^{2},\ k_{1},k_{2}>0}$ нормальна кривина сфер обмежена ${\displaystyle {k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}}$[2]. Оскільки, орисфера буде межею сфер, то нормальна кривина орисфер буде обмеженою: ${\displaystyle {k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}.}$

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у гіперболічному просторі дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, індукованій^[en] гіперболічним простором, орисфера ізометрична евклідовому простору.

Просте доведення.  

Перша фундаментальна форма гіперболічного простору в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx_{1}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}.}$

Тоді для орисфери ${\displaystyle x_{n}=C,\ (C>0)}$ отримуємо метрику евклідового простору.

Примітки

1. Щербаков С. А., Орисферическая координатная сеть на гиперболическом роге. Сборник «Геометрия». — Ленинград: Изд-во им. А. И. Герцена, 1977. C. 117—128.
2. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию, СПб., Наука, 1994, c. 173