Секційна кривина

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина K(σ_p) залежить від вибору двовимірної площині σ_p в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з гаусовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

Визначення

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p (${\displaystyle X,\ Y\in T_{p}M}$)

${\displaystyle K(X,Y)={\langle R(X,Y)Y,X\rangle \over \langle X,X\rangle \langle Y,Y\rangle -\langle X,Y\rangle ^{2}}}$

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах[1]

${\displaystyle K(X,Y)={R_{ijkl}T^{ij}T^{kl} \over (g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})T^{ij}T^{kl}},}$

де бівектор ${\displaystyle T^{nm}=X^{n}Y^{m}-Y^{n}X^{m}}$.

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

${\displaystyle K(X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle }$

Теорема Топоногова про порівняння кутів

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини ${\displaystyle K_{\sigma }\geqslant k=const}$. Тоді для будь-якого геодезичного трикутника ${\displaystyle \triangle }$ в M знайдеться на ${\displaystyle k}$-площині такий геодезичний трикутник ${\displaystyle \triangle _{k}}$ з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника ${\displaystyle \triangle }$, у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника ${\displaystyle \triangle }$[2].

Під ${\displaystyle k}$-площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини ${\displaystyle k}$ — гіперболічна площина, сфера або евклідова площина.

Примітки

1. Борисенко, 213.
2. Топоногов В. А., Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу, Успехи математических наук. 1959. Том 54, № 1, с. 87-130

Джерела

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022