Оператор числа частинок

Оператор числа частинок — квантовий оператор, власні значення якого є кількість частинок у певному квантовому стані.

Оператор числа частинок позначається здебільшого ${\displaystyle {\hat {N}}}$ і задається формулою

${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$,

де ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ і ${\displaystyle {\hat {a}}}$ — оператори народження та знищення, відповідно.

Оператор числа частинок визначається для кожного базисного вектора стану у просторі Фока.

Ферміони

Для ферміонів власними значеннями оператора числа частинок є 0 і 1, а відповідні власні стани можна позначити ${\displaystyle |0\rangle }$ та ${\displaystyle |1\rangle }$:

${\displaystyle {\hat {N}}|0\rangle =0,\qquad {\hat {N}}|1\rangle =1}$

Оператор числа частинок для ферміонів часто, зокрема при розгляді системи частинок, які не взаємодіють між собою, комутує з оператором енергії — гамільтоніаном. В такому випадку вони можуть мати спільну систему власних функцій, тобто число частинок в певному стані й енергію квантової системи можна визначити одночасно. При врахуванні взаємодії між частинками їхнє число в різних станах не зберігається.

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану ${\displaystyle |n\rangle }$ по рівноважному стану дає розподіл Фермі-Дірака.

${\displaystyle \langle |{\hat {N}}_{n}|\rangle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}+1}}}$,

де ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ — енергія n-го одночастинкового стану, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, T — температура, ${\displaystyle \mu }$ — хімічний потенціал.

Бозони

Для бозонів власними значеннями оператора числа частинок є цілі числа n, а відповідні власні стани можна позначити ${\displaystyle |n\rangle }$.

${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }$

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану ${\displaystyle |n\rangle }$ по рівноважному стану дає розподіл Бозе-Ейнштейна.

${\displaystyle \langle |{\hat {N}}_{n}|\rangle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}-1}}}$,

Див. також

• Вторинне квантування