Олоїд

Структура олоїда. Показано два 240-градусні кругові сектори і опуклий корпус.

Розгортка олоїда

Олоїд — тривимірний криволінійний геометричний об'єкт, відкритий Павлом Шатцем у 1929 році. Це опуклий корпус скелетної рами, зроблений шляхом розміщення двох пов'язаних конгруентних кіл в перпендикулярних площинах, так що центр кожного кола лежить на іншому колі. Відстань між центрами кіл дорівнює радіусу кола. Одна третина периметра кожного кола лежить всередині опуклого корпусу, тому одна і та ж форма може бути сформована як опукла оболонка двох залишкових кругових дуг, кожна з яких охоплює кут 4π / 3.

Площа поверхні та об'єм

Площа поверхні олоїда обчислюється за формулою[1]:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$,

що дорівнює площі поверхні сфери рівного радіусу.

Об'єм олоїда в кінцевому вигляді обчислюється за формулою[1][2]:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\left(2E\left({\frac {3}{4}}\right)+K\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3}}$,

де K і E означають повні еліптичні інтреграли першого і другого роду відповідно. Чисельний розрахунок дає:

${\displaystyle V\approx 3.0524184684r^{3}}$

Кінетика

Відео олоїда, що котиться, зняте Німецьким музеєм у Мюнхені

Під час кочення кожна точка поверхні олоїда торкається до площини, по якій він котиться[1]. На відміну від більшості аксіально-симетричних об'єктів (циліндр, сфера тощо), при коченні по плоскій поверхні його центр мас рухається по траєкторії меандру^[ru], а не лінії. При кожному оберті відстань між центром маси олоїда і поверхнею кочення має два мінімуми і два максимуми. Різниця між максимальною і мінімальною висотою визначається формулою:

${\displaystyle \Delta h=r\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}}\right)\approx 0.0576r}$

де r — радіус дуги олоїда. Оскільки ця різниця досить мала, рух олоїда доволі плавний. У кожній точці під час цього руху кочення олоїд дотикається до площини відрізком прямої. Довжина цього відрізка під час руху залишається незмінною і визначається виразом[1][3]:

${\displaystyle \!l={\sqrt {3}}r}$

Пов'язані форми

Порівняння олоїда (ліворуч) і сферикона (праворуч) у SVG зображенні. Клацніть на зображенні для перегляду анімації.

Сферикон — опукла оболонка двох півкіл у перпендикулярних площинах з центрами в одній точці. Його поверхня складається з чотирьох шматків конусів. Він схожий на олоїд і, подібно до нього, є поверхнею, що розгортається, яку можна розгорнути шляхом прокочування. Однак його екватор являє собою квадрат, на відміну від екватора олоїда, який кутів не має.

Примітки

1. Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), The development of the oloid (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 1 (2): 105—118, MR 1622664.
2. OEIS A215447, OEIS A215447
3. Kuleshov, Alexander S.; Hubbard, Mont; Peterson, Dale L.; Gede, Gilbert (2011), Motion of the Oloid-toy, Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 July 2011, Rome, Italy (PDF), архів оригіналу (PDF) за 28 грудня 2013, процитовано 13 вересня 2017 Архівовано грудень 28, 2013 на сайті Wayback Machine..

Посилання

• Rolling oloid, знято Швейцарським науковим центром Technorama, Вінтертур.
• Paper model oloid. Зроби власний олоїд.
• Меш олоїда і код для його генерування.
• Олоид: математически совершенное произведение искусства. Популярная механика. popmech.ru. Процитовано 13 вересня 2017.