Модель теплоємності Ейнштейна

Запропонована Ейнштейном модель теплоємності твердого тіла виходить з припущення, що тверде тіло складається з осциляторів з певною власною частотою ${\displaystyle \omega }$, які підкоряються статистиці, аналогічній статистиці світлових квантів у теорії випромінювання абсолютно чорного тіла Планка[1]

Математичне формулювання

Для системи, що складається з N тривимірних осциляторів, внутрішня енергія задається фомулою

${\displaystyle U=3N{\frac {\hbar \omega }{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, T — абсолютна температура.

Відповідно, теплоємність

${\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=3k_{B}N\left({\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}\right)^{2}{\frac {e^{\hbar \omega /k_{B}T}}{\left(e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1\right)^{2}}}}$

Успіхи й недоліки

Теорія Ейнштейна пояснює закон Дюлонга-Пті при високих температурах і падіння теплоємності до нуля при низьких температурах, однак не може кількісно відтворити закон цього падіння. Недоліком теорії є те, що вона не враховує взаємодію між осциляторами. Врахувавши таку взаємодію в 1912 році Петер Дебай побудував теорію теплоємності, яка правильно відтворює кубічну залежність теполоємності від температури при низьких температурах (закон Дебая).

Теорію Ейнштейна можна також з успіхом застосовувати для обчислення вкладу в теплоємність оптичних фононів, нехтуючи їхньою дисперсією.

Джерела

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа.
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.

Примітки

1. Сьогодні ця статистика відома під назвою статистика Бозе-Ейнштейна, але тоді, коли Ейнштейн запропонував свою теорію такої назви не існувало.