Многовид Вайтгеда

Перші три повнотори в побудові

Многовид Вайтгеда — приклад відкритого тривимірного многовиду, що є стягуваним, але не гомеоморфним ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Генрі Вайтгед знайшов приклад 1935 року намагаючись розв'язати гіпотезу Пуанкаре.

В одновимірному та двовимірному випадках подібних прикладів не існує.

Побудова

Зачеплення Вайтгеда

Для побудови тривимірної сфери вибирається незавузлений повнотор ${\displaystyle T_{1}}$, далі — другий повнотор ${\displaystyle T_{2}}$ в ${\displaystyle T_{1}}$ так, що ${\displaystyle T_{2}}$ і трубчастий окіл меридіана ${\displaystyle T_{1}}$ утворюють потовщення зачеплення Вайтгеда. При цьому ${\displaystyle T_{2}}$ можна стягнути в доповненні меридіана ${\displaystyle T_{1}}$ і меридіан ${\displaystyle T_{1}}$ можна стягнути в доповненні ${\displaystyle T_{2}}$.

Далі будується повнотор ${\displaystyle T_{3}}$, вкладений у ${\displaystyle T_{2}}$ таким самим способом, як і ${\displaystyle T_{2}}$ для ${\displaystyle T_{1}}$; цю побудову можна продовжити до нескінченності, отримавши послідовність вкладених повнотрів:

${\displaystyle T_{1}\subset T_{2}\subset T_{3}\subset \dots }$

Континуум Вайтгеда визначається як перетин побудованих повноторів:

${\displaystyle W=\bigcap _{i}T_{i}}$.

Доповнення ${\displaystyle W}$ в тривимірній сфері і є многовидом Вайтгеда.

Властивості

• Многовид Вайтгеда, ${\displaystyle W}$не гомеоморфний ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, але добуток ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$ гомеоморфний ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
• Многовид Вайтгеда містить компактну множину ${\displaystyle K}$ таку, що для будь-якої іншої компактної множини ${\displaystyle K'\supset K}$ доповнення ${\displaystyle W\backslash K'}$ не однозв'язне.

Див. також

• Намисто Антуана

Література

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374) — ISBN 0-387-51148-2.