Намисто Антуана

Перша ітерація

Друга ітерація

Намисто Антуана (антуанівська множина[1]) — приклад підмножини евклідового простору, яка гомеоморфна канторовій множині, але при цьому має неоднозв'язне доповнення.

Побудував Луї Антуан^[ru] 1921 року[2].

Побудова

Намисто будується як перетин спадної послідовності компактних множин:

${\displaystyle K_{1}\supset K_{2}\supset \dots }$

такої, що кожне ${\displaystyle K_{n}}$ є об'єднанням скінченного числа неперетинних повноторів.

Якщо найбільший діаметр повнотора в ${\displaystyle K_{n}}$ прямує до нуля при ${\displaystyle n\to \infty }$, то перетин:

${\displaystyle K=\bigcap _{n}K_{n}}$

є компактною цілком незв'язною множиною без ізольованих точок, а отже гомеоморфним канторовій множині.

З іншого боку, можна вибрати послідовність ${\displaystyle K_{n}}$ так, що доповнення до отриманого ${\displaystyle K}$ неоднозв'язне, для цього перетин ${\displaystyle K_{n+1}}$ з кожним повнотором у ${\displaystyle K_{n}}$ має утворювати замкнутий ланцюг, як на малюнку.

Див. також

• Дика сфера
• Дикий вузол
• Многовид Вайтгеда

Примітки

1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А.^[ru]. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с. — (Бібліотечка «Квант»^[ru])
2. Antoine, Louis (1921), «Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages», Journal Math Pures et appl. 4: 221—325