Марковський момент часу

Момент зупину або марковський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок

Визначення

Нехай дана послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 0}}$. Тоді випадкова величина ${\displaystyle \tau }$ називається марковським моментом (часу), якщо для будь-якого ${\displaystyle n\geq 0}$ подія ${\displaystyle \{\tau \leq n\}}$ залежить тільки від випадкових величин ${\displaystyle Y_{0},\ldots ,Y_{n}}$.

Приклад

нехай ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 0}}$ — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$, і

${\displaystyle \tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент першого досягнення процесом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ рівня ${\displaystyle L}$. Тоді ${\displaystyle \tau }$ - марковський момент, бо ${\displaystyle \tau \leq n}$ тоді і тільки тоді, коли існує ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,\;0\leq i\leq n}$ таке, що ${\displaystyle Y_{i}\geq L}$. Таким чином подія ${\displaystyle \{\tau \leq n\}}$ залежить лише від поведінки процесу до моменту часу ${\displaystyle n}$.

Нехай тепер

${\displaystyle \sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент останнього досягнення процесом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ рівня ${\displaystyle L}$. Тоді ${\displaystyle \sigma }$ не є марковським моментом, бо подія ${\displaystyle \{\sigma \leq n\}}$ передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок

Визначення

• Нехай дано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ з фільтрацією ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$, де ${\displaystyle T\subset [0,\infty )}$. Тоді випадкова величина ${\displaystyle \tau }$, яка приймає значення в ${\displaystyle T\cup \{\infty \}}$ називається марковським моментом відносно даної фільтрації, якщо ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T}$.

• Якщо дано процес ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, і ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)}$ - його природні σ-алгебри, то кажуть, що ${\displaystyle \tau }$ — марковський момент відносно процесу ${\displaystyle \{X_{t}\}}$.

• Марковський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:${\displaystyle \mathbb {P} (\tau <\infty )=1}$.

Властивості

Якщо ${\displaystyle \tau }$ і ${\displaystyle \sigma }$ — марковські моменти, то

• ${\displaystyle \tau +\sigma }$ — марковський момент;
• ${\displaystyle \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )}$ — марковський момент;
• ${\displaystyle \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )}$ — марковський момент.

Зауваження

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад

Нехай ${\displaystyle \{W_{t}\}_{t\geq 0}}$ — стандартний вінерівський процес. Нехай ${\displaystyle \alpha >0}$. Визначимо

${\displaystyle \tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}}$.

Тоді ${\displaystyle \tau }$ — марковський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

${\displaystyle f_{\tau }(t)={\frac {\alpha }{\sqrt {2\pi t^{3}}}}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{2t}}},\quad t\geq 0}$.

Зокрема ${\displaystyle \tau }$ — момент зупинки. Проте,

${\displaystyle \mathbb {E} \tau =\infty }$.

Контрприклад

Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1; ${\displaystyle X_{0}=1.}$ Нехай ${\displaystyle \tau }$ позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт: ${\displaystyle \tau ={\mbox{max}}\{n\geq 0:X_{n}=1\}.}$

Очевидно, що ви мусимо знати майбутнє, щоб визначити цей час.

Див. також

• Задача про перебірливу молодицю