Логарифмічний потенціал — функція, визначена в ℝ2 як згортка узагальненої функції ρ з функцією -ln|z|:
Логарифмічний потенціал задовольняє рівняння Пуассона V = −2πρ. За аналогією з ньютонівським потенціалом можна розглядати три окремі випадки логарифмічного потенціалу.
Фізичний зміст
Фізичний зміст логарифмічних потенціалів полягає в тому, що вони відповідають потенціалу, який створюють заряди (або маси) у двовимірній електростатиці (або двовимірній ньютонівській гравітації), розподілені з (двовимірною) густиною ρ. З точки зору звичайної тривимірної електростатики, йдеться про електростатичний потенціал, який створює розподіл зарядів, що має трансляційну симетрію за однією з просторових осей (за віссю, ортогональною до площини, декартові координати на якій є компоненти вектора z, або його дійсна і уявна частина, якщо вважати z комплексним числом), іншими словами, розподіл зарядів, що не залежить від третьої координати, сталий за нею (потенціал зарядженої нитки).
Потенціал площі
Якщо , то сам потенціал гармонічний в і
Тут, як це часто роблять, маємо на увазі подання як комплексної площини; втім, у межах визначень це несуттєво, й у цьому сенсі тут можна всюди замінити комплексні змінні просто двовимірними векторами, а модуль комплексного числа — евклідовою нормою , а якщо також комплексна, можна розглядати окремо її дійсну та уявну частини.
Логарифмічний потенціал простого шару
Якщо , то сам потенціал гармонічний в і
Якщо S — крива Ляпунова, то потенціал має похідні, причому на самій кривій спостерігається їх розрив:
Логарифмічний потенціал подвійного шару
де φ — кут між нормаллю в точці ζ і радіус-вектором, проведеним у цю точку з точки z.
Якщо , то сам потенціал гармонічний у і
Якщо S — крива Ляпунова, то:
і
Якщо, до того ж, густина — стала величина, потенціал дорівнює
Див. також
Література